Циклическая группа и её подгруппы

[Felt]

Сколько думаю никак не могу доказать одну из частей следующей теоремы:
Абелева группа простая тогда и только тогда, когда её порядок - простое число.

Следствие справа выплывает из теоремы лагранжа, следствие слева - нужно рассмотреть случаи: конечная, бесконечная.
Если бесконечная не циклическая, то легко переводится случай на циклическую, а с бесконечной циклической из-за изоморфности с аддитивной группой целый чисел легко доказать, что этот случай тоже отпадает. Остается конечная нециклическая и конечная циклическая, нециклическая опять отпадает, остается циклическая конечная. Циклическая группа в любом случае абелева и каждая её подгруппа - нормальная. То есть, возвращаясь к проблематике теоремы, нужно доказать, что у простой циклической группы порядок - простое число. Это эквивалентно тому, чтобы доказать, что у группы, у которой нет других подгрупп кроме тривиальных, порядок - простое число. И именно это у меня не получается доказать.

[AV_77]

Пусть $a$ - элемент порядка $nm$. Какой порядок имеет $a^m$?

[Felt]

У него тогда порядок n

-- 21.12.2013, 22:28 --

Всё, понял, это же элементарно. У группы с порядком nm всегда есть нетривиальные подгруппы, следовательно порядок может быть только простым числом и тогда опять по лагранжу. Спасибо за наводку