Найти зависимость между функциями

[bdfn]

У меня есть функции:

$$y_1({\bf x}),y_2({\bf x}),y_3({\bf x}),y_4({\bf x})$$

где ${\bf x}=(x_1, x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)$. Далее я хочу узнать зависимы ли эти функции между собой. Для этого я строю матрицу Якоби ${\bf J}$ и считаю ее ранг. Получаю, что он равен трем. Вопрос заключается в следующем: как искать явную зависимость между $y_1({\bf x}),y_2({\bf x}),y_3({\bf x}),y_4({\bf x})$?

[provincialka]

Видимо, решая подходящую систему уравнений, т.е. выражая часть иксов, скажем, через $y_1,y_2,y_3$ и подставляя в $y_4$

[bdfn]

Зависимость $y_1,y_2,y_3,y_4$ от ${\bf x}$ бывает как правило не линейной, поэтому разрешать их относительно иксов не очень удобно.

[Otta]

Какие функции Вы называете зависимыми (независимыми)? Какое отношение к этому имеет матрица Якоби? Совсем простой вопрос: являются ли зависимыми функции $x^2+y^2+z^2$ и $x^2+y^2-z^2$?

[Ms-dos4]

Otta
Я подозреваю ТС имеет ввиду следующее
Пусть заданы функции $\[{f_1},...,{f_n}\]$ с переменными $\[{x_1},...,{x_m}\]$, и пусть ранг матрицы Якоби $\[J_m^n\]$ равен $\[k\]$. Тогда если минор $\[\left| {J_k^k} \right| = \frac{{D({f_1},...,{f_k})}}{{D({x_1},...,{x_k})}}\]$ отличен от нуля, то функции $\[{f_1},...,{f_k}\] $ функционально независимы, а остальные могут быть выражены через них неким образом, например $\[{f_{k + p}} = {\varphi _p}({f_1},...,{f_k})\]$.

-- Вс дек 22, 2013 09:33:17 --

bdfn
А никто и не говорил, что найти "зануляющую" функцию легко.

[bdfn]

Функции $y_1, y_2,y_3,y_4$ я считаю зависимыми если одну из них к примеру $y_4$ можно выразить через $y_1,y_2,y_3$ (при этой в $y_4$ не останется иксов).
Матриц Якоби у меня следующая $J_{ij}=\frac{\partial y_i}{\partial x_j}$ то есть по ее столбцам стоят градиенты от $y_1,y_2,y_3,y_4$ и от суда кажется понятным что если ${\rm rank }{\bf J}<4$ то функции $y_1, y_2,y_3,y_4$ зависимы.

[Otta]

Было бы хорошо, если бы Вы написали определение зависимых функций, которое используете. А не пытались его пересказывать вольным языком.