Задача по математической физике

[crazy_cati]

Помогите, пожалуйста, разобраться в задаче:
Струна кругового поперечного сечения с жестко закрепленными концами в начальный момент времени t=0 имела форму квадратной параболы, симметричной относительно перпендикуляра к середине струны, а затем отпущена без толчка. Определить процесс поперечных колебаний струны, если максимальное начальное отклонение струны составляло l/100, данные длина=0.56 m, плотность 8,4 на 10 в-3,t0=22 , t=0
Заранее ОГРОМНОЕ Спасибо...хотелось бы спокойно спать)))

[Ms-dos4]

crazy_cati
Запишите уравнение колебаний струны и поставьте задачу (т.е. начальные и граничные условия). Метод Фурье решения таких уравнений знаете?

[crazy_cati]

Ms-dos4 в сообщении #804297 писал(а):

crazy_cati
Запишите уравнение колебаний струны и поставьте задачу (т.е. начальные и граничные условия). Метод Фурье решения таких уравнений знаете?

Честно отвечу,никогда не пробовала решать такие задачи...хотя,физ-мат заканчивала...сейчас посмотрю метод Фурье.Если вам не сложно-напишите подробнее решение.Спасибо!

[Ms-dos4]

crazy_cati
Без ваших попыток к решению по правилам форума я не могу этого сделать. Могу порекомендовать прочитать книгу Тихонова и Самарского по уравнениям математической физики. Тем более, если вы заканчивали физ-мат, вы очень быстро восполните забытое.

[crazy_cati]

Ms-dos4 в сообщении #804360 писал(а):

crazy_cati
Без ваших попыток к решению по правилам форума я не могу этого сделать. Могу порекомендовать прочитать книгу Тихонова и Самарского по уравнениям математической физики. Тем более, если вы заканчивали физ-мат, вы очень быстро восполните забытое.

Спасибо!

-- 22.12.2013, 00:31 --

crazy_cati в сообщении #804363 писал(а):

Ms-dos4 в сообщении #804360 писал(а):

crazy_cati
Без ваших попыток к решению по правилам форума я не могу этого сделать. Могу порекомендовать прочитать книгу Тихонова и Самарского по уравнениям математической физики. Тем более, если вы заканчивали физ-мат, вы очень быстро восполните забытое.

Спасибо!

Итак,запишем уравнение колебаний струны $u_{tt}=a^{2}u_{xx}$
Граничные условия $u(o,t)=0, u(l,t)=0$ Верно?
Нач.усл. $u(x,0)=g(х) ~~ u_{t}(x,0)=w(x)$
так как в нач момент времени струна имела форму параболы,то $g(x)=ax^{2}+bx+c$ или это не учитывается?

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- Вс 22.12.13 02:26:08 --

crazy_cati, будьте аккуратнее в наборе формул.
Поправил
u(o,t)=0, u(l,t)=0
на
$u(o,t)=0, u(l,t)=0$
и
u(x,0)=g(х) $u_{t}(x,0)=w(x)$
на
$u(x,0)=g(х) ~~ u_{t}(x,0)=w(x)$

[Ms-dos4]

Так вот в условии $\[u(x,0)\]$ вы и должны записать искомую параболическую форму в начальный момент времени (учитывая ваши данные, это будет $\[u(x,0) = \frac{x}{{25}}(1 - \frac{x}{l})\]$). Т.к. она не имела скорости в начальный момент, то $\[{u_t}(x,0) = 0\]$. Граничные условия вы записали верно. Теперь у вас есть все данные что бы начать решать эту задачу методом Фурье.

[crazy_cati]

Toucan в сообщении #804435 писал(а):

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- Вс 22.12.13 02:26:08 --

crazy_cati, будьте аккуратнее в наборе формул.
Поправил
u(o,t)=0, u(l,t)=0
на
$u(o,t)=0, u(l,t)=0$
и
u(x,0)=g(х) $u_{t}(x,0)=w(x)$
на
$u(x,0)=g(х) ~~ u_{t}(x,0)=w(x)$

Спасибо,впервые-исправлюсь!

-- 22.12.2013, 09:51 --

:D

Ms-dos4 в сообщении #804463 писал(а):

Так вот в условии $\[u(x,0)\]$ вы и должны записать искомую параболическую форму в начальный момент времени (учитывая ваши данные, это будет $\[u(x,0) = \frac{x}{{25}}(1 - \frac{x}{l})\]$). Т.к. она не имела скорости в начальный момент, то $\[{u_t}(x,0) = 0\]$. Граничные условия вы записали верно. Теперь у вас есть все данные что бы начать решать эту задачу методом Фурье.

[crazy_cati]

Ms-dos4 в сообщении #804463 писал(а):

Так вот в условии $\[u(x,0)\]$ вы и должны записать искомую параболическую форму в начальный момент времени (учитывая ваши данные, это будет $\[u(x,0) = \frac{x}{{25}}(1 - \frac{x}{l})\]$). Т.к. она не имела скорости в начальный момент, то $\[{u_t}(x,0) = 0\]$. Граничные условия вы записали верно. Теперь у вас есть все данные что бы начать решать эту задачу методом Фурье.

все же не могу понять откуда это взялось? $\[u(x,0) = \frac{x}{{25}}(1 - \frac{x}{l})\]$)?

[Ms-dos4]

crazy_cati
Сказано, что ваша струна имеет форму параболы $\[u(x,0) = a{x^2} + bx + c\]$ , максимум отклонения которой (то бишь "середина") находится посередине струны ($\[\frac{l}{2}\]$) и причём равен $\[\frac{l}{{100}}\]$, ну а на концах струны как мы выяснили отклонения равны нулю. Тогда имеем 3 уравнения
$\[\left\{ \begin{array}{l} a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c = 0\\ a \cdot {(\frac{l}{2})^2} + b \cdot \frac{l}{2} + c = \frac{l}{{100}}\\ a \cdot {l^2} + b \cdot l + c = 0 \end{array} \right.\]$
Решая систему имеем
$\[a = - \frac{1}{{25}}l\]$
$\[b = \frac{1}{{25}}\]$
$\[c = 0\]$
Отсюда $\[u(x,0) = \frac{x}{{25}}(1 - \frac{x}{l})\]$

[crazy_cati]

Ms-dos4 в сообщении #804743 писал(а):

crazy_cati
Сказано, что ваша струна имеет форму параболы $\[u(x,0) = a{x^2} + bx + c\]$ , максимум отклонения которой (то бишь "середина") находится посередине струны ($\[\frac{l}{2}\]$) и причём равен $\[\frac{l}{{100}}\]$, ну а на концах струны как мы выяснили отклонения равны нулю. Тогда имеем 3 уравнения
$\[\left\{ \begin{array}{l} a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c = 0\\ a \cdot {(\frac{l}{2})^2} + b \cdot \frac{l}{2} + c = \frac{l}{{100}}\\ a \cdot {l^2} + b \cdot l + c = 0 \end{array} \right.\]$
Решая систему имеем
$\[a = - \frac{1}{{25}}l\]$
$\[b = \frac{1}{{25}}\]$
$\[c = 0\]$
Отсюда $\[u(x,0) = \frac{x}{{25}}(1 - \frac{x}{l})\]$

Теперь ясно,спасибо за терпеливое объяснение!

[crazy_cati]

crazy_cati в сообщении #804808 писал(а):

Ms-dos4 в сообщении #804743 писал(а):

crazy_cati
Сказано, что ваша струна имеет форму параболы $\[u(x,0) = a{x^2} + bx + c\]$ , максимум отклонения которой (то бишь "середина") находится посередине струны ($\[\frac{l}{2}\]$) и причём равен $\[\frac{l}{{100}}\]$, ну а на концах струны как мы выяснили отклонения равны нулю. Тогда имеем 3 уравнения
$\[\left\{ \begin{array}{l} a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c = 0\\ a \cdot {(\frac{l}{2})^2} + b \cdot \frac{l}{2} + c = \frac{l}{{100}}\\ a \cdot {l^2} + b \cdot l + c = 0 \end{array} \right.\]$
Решая систему имеем
$\[a = - \frac{1}{{25}}l\]$
$\[b = \frac{1}{{25}}\]$
$\[c = 0\]$
Отсюда $\[u(x,0) = \frac{x}{{25}}(1 - \frac{x}{l})\]$

Теперь ясно,спасибо за терпеливое объяснение!

У меня есть еще один маленький вопросик...зачем нужны плотность,время в условии?

[Ms-dos4]

crazy_cati
Уравнение колебаний $\[\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {a^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\]$, а постоянная равна $\[a = \sqrt {\frac{{{T_0}}}{\rho }} \]$. Так что в условии скорее всего дана плотность и натяжение струны.