Как доказать равномерную сходимость интеграла...?

[MIrlok]

Помогите, пожалуйста, доказать равномерную сходимость относительно $\alpha$ интергала $\int\limits_0^{+ \infty }{\frac{{x^{p-1}}}{{1+\alpha*x}}dx}$ при $\alpha>=0$ и $0<p<1$. Cинтегралом от нуля до единицы тем вроде все нормально, а от единицы до бесконечности - ??

[Brukvalub]

MIrlok писал(а):

Помогите, пожалуйста, доказать равномерную сходимость относительно $\alpha$ интергала $\int\limits_0^{+ \infty }{\frac{{x^{p-1}}}{{1+\alpha*x}}dx}$ при $\alpha>=0$ и $0<p<1$. Cинтегралом от нуля до единицы тем вроде все нормально, а от единицы до бесконечности - ??

Как можно помочь доказать то, что неверно? Да никак

[RIP]

А разве при $\alpha=0$ интеграл сходится?
Если же ограничиться $\alpha>0$, то неравномерность сходимости легко доказывается, например, с помощью критерия Коши равномерной сходимости (или от противного). Надо воспользоваться тем, что при $\alpha=0$ интеграл расходится.

[MIrlok]

Хм...тогда может есть другие способы решения моей задачи? изначально мне надо было найти

значение интеграла $\int\limits_0^{+\infty }{\frac{{ln(1+x)}}{{x^{2-p}}}dx}$ при $0<p<1$ используя

интегрирование или дифференцирование под знаком интеграла. Я заменил $log(1+x)$ на

$log(1+\alpha x)$ и продифференцировал по $\alpha$, получил $\int\limits_0^{+\infty }{\frac{{x^{p-1}}}{{1+\alpha x}}dx}$ = $\int\limits_0^{+\infty }{\frac{{\alpha^{1-p}*z^{p-1} }}{{(1+z)*\alpha}}dz}$ , а это через бетта-функцию равно

$\frac{\pi\alpha^{-p}}{sin\pip}$; беру неопределенный интеграл, подставляю $\alpha=0$-нахожу

константу С=0. И в ответе кладу $\alpha$=1. Остаётся доказать правомерность дифференцирования под знаком интеграла -

равномерную сходимость интеграла... Есть другой, правильный способ решения?

[RIP]

Дифференцирование законно при $\alpha\geqslant\alpha_0>0$, причём при любом $\alpha_0>0$, поэтому дифференцирование законно при $\alpha>0$.

[MIrlok]

Да, но у меня $\alpha$ еще и нулю равна, с этим то что делать? Константу можно найти только так... Если при нахождении Const, $\alpha$ просто устремить к нулю, то достаточно доказать сходимость при $\alpha>0$. Это верно толко при равномерной сходимости заданного начального интеграла, как это доказать?

[RIP]

А вот интеграл от $\frac{\ln(1+\alpha x)}{x^{2-p}}$ сходится равномерно при $0\leqslant\alpha\leqslant1$, поэтому законно положить $\alpha=0$.

[MIrlok]

Глупо-наивный вопрос: а как доказать его равномерную сходимость, напиши подробно, пожалуйста.

[RIP]

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов знаете?

[MIrlok]

Знаем. Разбиваем его на два и ограничиваем $\int\limits_1^{+\infty }{\frac{{ln(1+\alpha x)}}{{x^{2-p}}dx}$ по модулю: $|{{\frac{{ln(1+\alpha x)}}{{x^{2-p}}}| $< $ln(1+x)$. Так этот расходится?!

[RIP]

А вот так не проще?

$$\left|\frac{\ln(1+\alpha x)}{x^{2-p}}\right|\leqslant\frac{\ln(1+ x)}{x^{2-p}},$$

причём и разбивать ничего не надо.