Понижение мощности модели

[TehNick]

Здравствуйте! Есть такая задачка:
Доказать, что для любой бесконечной модели $\mathfrak A$ сигнатуры $\sigma$ существует модель $\mathfrak B$ сигнатуры $\sigma$ такая, что $\mathfrak A\equiv\mathfrak B$ и $\mid\mathfrak B\mid = \max\{\omega, \mid\sigma\mid\}$, но не всякий элемент $\mathfrak B$ является интерпретацией константного символа из $\sigma$.
Решил в доказательстве использовать локальную теорему Мальцева. Для этого нужно наложить условия на модель $\mathfrak B$.
Т.к. $\mathfrak A\equiv\mathfrak B$ $\Rightarrow$ $Th(\mathfrak A) = Th(\mathfrak B)$. Дальше записываю условие счетности: $T_\infty = \{ \exists x_1 \exists x_2(x_1\not=x_2), \exists x_1\exists x_2\exists x_3(x_1\not=x_2\not=x_3),...\}$.
Не могу понять, что значит условие "но не всякий элемент $\mathfrak B$ является интерпретацией константного символа из $\sigma$"? Я подумал, это значит, что мощность констант из сигнатуры $\sigma$ меньше $\mid\mathfrak B\mid$ т.к. не все элементы основного множества используются при интерпретации константных символов сигнатуры $\sigma$. Вообще я не уверен, что нужно задавать $T_\infty$, потому что $\mid\mathfrak B\mid = \max\{\omega, \mid\sigma\mid\}$, но ведь сигнатуры может быть более чем счетна.
Помогите, пожалуйста, правильно построить модель $T$ для применения локальной теоремы Мальцева.

[TehNick]

So what I made:
1)I extended signature $\Sigma = \sigma \cup \{b\}$
2)$C$ is a set of constants from $\sigma$ and $\parallel C \parallel = \lambda$
3)$T = Th(\mathfrak A) \cup \{b \not=c_i \mid c_i \in C , i \in \lambda\}$
4)Then I viewed finite subset $\bar{T} \subseteq T$ and $\bar{T} = \bar{Th(\mathfrak A)} \cup \{b \not=c_i \mid c_i \in C , i \le k \in \lambda\}$
5)Then we can construct the new model $\bar{\mathfrak A} = <A, \sigma^{\mathfrak A},b>$ and $\bar{\mathfrak A} \models \bar{T}$. $\nu (b) \in A\setminus \{\nu (c_i) \mid i\le k \}$. Where $\nu$ is an interpretation.
6)According to the Compactness Theorem $\exists \mathfrak M$ of signature $\Sigma$ and $\mathfrak M \models T$
7)Then we excepted $b$ from $\Sigma$ and we got a new model $\mathfrak N$ of signature $\sigma$ which $\mathfrak N \equiv \mathfrak A$
8)According to the Löwenheim — Skolem theorem $\exists \mathfrak B$ such that $\parallel \mathfrak B \parallel = \max\{\omega, \parallel \sigma \parallel \}$ and $\mathfrak B \equiv \mathfrak N \equiv \mathfrak A$
Could you check my proof, please?