Предновогодний функанчик

[Foxer]

В общем, есть такая задачка (из Богачева Смолянова)
Пусть $K$ --- компакт. Показать, что крайние точки в единичном шаре $C(K)$ --- это функции со значениями в $\{1, -1\}$, а крайние точки в единичном шаре $C(K)^*$ --- это меры $\delta_k$ и $-\delta_k, k \in K$.

С первой частью я разобрался (нужно было лишь вспомнить лемму Урысона). Да, кстати, наверное все-таки в задаче хочется иметь дело с хаусдорфовыми компактами, иначе так особо не пошалить.

Начинается свистопляска со второй частью. Во-первых, как можно пощупать $C(K)^*$? Почитал англовики (пункт 3) и понял, что оказывается, это меры Радона на $K$ (ну точнее интеграл от функции по этой мере). Ну прекрасно, теперь задача маленько упростилась. Доказать, что для любой меры $\nu$ (возможно, знакопеременной) отличной от $\delta_k$ с единичной нормой всегда можно подыскать такую маленькую меру $\mu$, что $\nu \pm \mu$ будет также не более чем единичной нормы (ну, в случае, если норма меры $\nu$ 1 - $\varepsilon$, то все просто, ибо мы возьмем малую меру, нормы $\frac{\varepsilon}{2}$ и будет нам счастье).

Хочется доказать это утверждение как-то красиво. А у меня получается какой-то дурацкий разбор случаев. Если у нас есть хотя бы две точки, в которых меры не нулевые (так сказать атомы), то тут опять все просто (из одной точки вычтем, к другой прибавим и наоборот). Если же у нас есть не более одного атома, то нужно подыскать область из $K$, по которой интеграл не нулевой (и не включает этот атом, если он есть). Ну и далее как-нибудь аккуратно это продолжить.

В общем, мои рассуждения навевают на меня большое уныние и я сомневаюсь, что доведу их верно до конца. Как можно сделать лучше?

[Foxer]

А все, вроде бы разобрался.