Существуют ли числа...

[kthxbye]

Долго размышлял как же назвать тему, в итоге ничего хитрого не придумал.

Существуют ли вещественные числа $a,b,c$, такие, что $(a-b)^5 + (b-c)^5 + (c-a)^5 = 0$?

ВТФ сразу отпадает, ибо вещественные.

Допустим, если $a-b = x$, $b-c=y$, то $c-a=-(x+y)$, тогда $x^5 + y^5 - x^5 - 5x^4y - 10x^3y^2 - 10x^2y^3 - 5xy^4 - y^5 = 0,$

$ 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 = 0$

Предположительно последнее равенство недопустимо, след.-но вещественных чисел $a,b,c$ не существует. Только вот как это доказать?

[AV_77]

$(0-0)^5 + (0-c)^5 + (c-0)^5 = 0$ для любого вещественного $c$.

[kthxbye]

Ах да, забыл указать, все числа различные.

[AV_77]

kthxbye в сообщении #803571 писал(а):

$ 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 = 0$

По условию $x, y \neq 0$, то есть сокращаете на $5xy$ и делите на $y^3$. Уравнение приводится к виду
$\left( \frac{x}{y} \right)^3 + 2\left( \frac{x}{y} \right)^2 + 2\frac{x}{y} + 1 = 0$
с единственным вещественным решением $\frac{x}{y} = -1$.