1 + 2 + 3 + 4 + ... и Эйлер

[Freddy]

Доброго времени суток. Читал данную тему topic25666.html, но не понял в чем именно заключается ошибка Эйлера. На первый взгляд доказательство выглядит логично, но результат, конечно, вызывает когнитивный диссонанс.

Ссылки на доказательство Эйлера ($1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12$):
http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2004/zeta.pdf
http://math.ucr.edu/home/baez/numbers/24.pdf (стр. 6-9)

В чем именно ложность подхода Эйлера? Имеет ли вообще смысл суммирование расходящихся рядов?

[Otta]

Freddy в сообщении #803361 писал(а):

Доброго времени суток. Читал данную тему topic25666.html , но не понял в чем именно заключается ошибка Эйлера.

Это не ошибка, это Mind games. )) Эйлеру было хорошо известно, что ряд расходящийся в классическом смысле.
Доказательство игнорирует тот факт, что производная степенного ряда не везде равна сумме ряда из производных.

Теория расходящихся рядов довольно подробно (на момент написания книги) изложена в монографии Г. Харди "Расходящиеся ряды". В предисловии С.Б. Стечкина кратко изложен и взгляд Эйлера на проблему:

Цитата:

несколько замечаний по поводу истории возникновения и развития теории суммирования расходящихся рядов. Основоположником теории суммирования рядов является Леонард Эйлер. Многие математики XVII и XVIII веков (Лейбниц, Бернулли, Даламбер, Лагранж и др.) долго и безуспешно спорили о том, чему равна сумма расходящегося ряда. Эйлер первый понял, что задача поставлена неправильно и что нужно спрашивать: как определить сумму расходящегося ряда? Он пишет: "И вот я говорю, что вся трудность кроется в названии "сумма". Действительно, если под "суммой" ряда понимать, как это обычно делается, результат сложения всех его членов, то нет никакого сомнения, что суммы можно получить только для тех бесконечных рядов, которые являются сходящимися и дают результаты, тем более близкие к некоторому определенному значению, чем больше членов складывается. Расходящиеся же ряды, члены которых не убывают..., вообще не будут иметь никаких определенных сумм, если только слово "сумма" понимается в смысле результата сложения всех членов.

Этих затруднений и кажущихся противоречий мы совершенно избежим, если мы припишем слову "сумма" значение, отличное от обычного. А именно, мы скажем, что сумма некоторого бесконечного ряда есть конечное выражение, из разложения которого возникает этот ряд ... При этом соглашении, если ряд будет сходящимся, то новое определение слова "сумма" совпадает с обычным, а так как расходящиеся ряды не имеют никакой суммы в собственном смысле слова, то из этого нового определения не проистечет никаких неудобств. Приняв это определение, мы сможем сохранить выгоды пользования расходящимися рядами и в то же время защититься от всяческих обвинений" (Л.Эйлер, Дифференциальное исчисление, ГИТТЛ, М.-Л., 1949, стр.101).

Как видно из этой цитаты, точка зрения Эйлера на расходящиеся ряды вполне современна: расходящиеся ряды не имеют суммы в обычном смысле этого слова, однако возможно дать новое определение суммы ряда (мы бы сказали: определение метода суммирования рядов), применимое как ко всем сходящимся рядам, так и к некоторым расходящимся рядам; при этом от определения нужно потребовать, чтобы для сходящихся рядов новая сумма совпадала с обычной (мы бы сказали: метод должен быть регулярным).

В заключение С.Б. Стечкин упоминает, что
"Современная теория суммирования расходящихся рядов начала бурно развиваться в конце XIX -- начале XX века. Этому значительно способствовало то обстоятельство, что выявились связи этой теории с другими математическими дисциплинами. Так, Чезаро (1880) ввел свои методы суммирования в связи с рассмотрением задачи о перемножении рядов; Борель (1895--1901) изучал "метод Бореля" в связи с исследованием аналитического продолжения функций; наконец, Л.Фейер (1904) показал, какую пользу может принести теория суммирования рядов теории рядов Фурье. Этот период в основном завершился выходом в свет первой обзорной монографии Бореля (1901), посвященной расходящимся рядам. После этого теория расходящихся рядов стала доступной для широкого круга математиков, и ее развитие больше не останавливалось."

Это о приложениях. Приложения есть и в самой книге Харди - это применение теории к задаче перемножения рядов, к исследованию формулы суммирования Эйлера-Маклорена, к аналитическому продолжению функций, к суммированию рядов Фурье и к нахождению значений определенных интегралов.

Может, что и не упомянула. Думаю, меня дополнят: я написала чисто математические приложения и то явно не все.

[kkapitonets]

дзета-функция Римана, в классике используется формула суммирования Эйлера-Маклорена, только не все авторы упоминают, что это формула обобщённого суммирования расходящихся рядов, собственно, дзета-функция Римана без этих методов не имела бы аналитического продолжения

[alcoholist]

kkapitonets в сообщении #1414579 писал(а):

дзета-функция Римана без этих методов не имела бы аналитического продолжения

Дзета-функция Римана является аналитическим продолжением некоторой функции, определенной на луче $(1;+\infty)$. Существование аналитического продолжения не зависит ни от каких методов.

[vicvolf]

kkapitonets в сообщении #1414579 писал(а):

в классике используется формула суммирования Эйлера-Маклорена, только не все авторы упоминают, что это формула обобщённого суммирования расходящихся рядов,

Вот эта часть верна! Но я бы добавил - частичных сумм рядов или конечных сумм.

[Andrey Bogatyryov]

Давай на простом примере рассмотрим: дан ряд:

$$S = 1+2+4+8+...$$

Простыми преобразованиями, а именно умножением на два, можно получить следующее:

$$2S=2+4+8+...$$

$$2S=S-1$$

Казалось бы, сумма ряда должна быть решением простого линейного уравнения, но тогда мы должны принять сумму ряда равной -1, хотя интуитивно (да и логически-умозрительно) понятно, что ряд расходится и $S=\infty$. Формально, бесконечность хоть и не является решением полученного нами линейного уравнения, но все же она "решает" его в том смысле, что $2\infty=\infty=\infty-1$.
Точно такая же штуковина получается и при абстрактном суммировании других рядов - получают уравнение, решают его, но забывают, что бесконечность тоже его в каком-то смысле "решает" (не вдаваясь в подробности того, что есть бесконечность и как с ней нужно работать). Математики сейчас прибегут оскорблять меня и данное объяснение - и я не буду возражать; несомненно, суммирование расходящихся рядов побудило лучше понять природу рядов, что такое суммирование вообще и повлияло на все дальнейшее развитие математики. Просто стоит рассматривать такое суммирование в некотором ином смысле - оно неким образом характеризует расходящийся ряд. Это не сумма в ее первоначальном понимании, а нечто большее. Например, та же самая -1 в двоичных компьютерах с условно-неограниченной длиной слова и есть бесконечно-точное представление суммы всех степеней двоек))

[alcoholist]

Andrey Bogatyryov
Все-таки у Эйлера лучше получилось эту мысль выразить (см. выше в этом топике)