О-большое, справедливо ли?

[TamaGOch]

раскладываю $e^{\frac{\ln(n)}{n}} - 1 = \frac{\ln(n)}{n}+\frac{\ln^2(n)}{2n^2} + o (\frac{\ln^2(n)}{2n^2})=...$
справедливо ли далее написать
$...=$ O$(\frac{\ln(n)}{n})$
(О-большое т.е.)

[patzer2097]

Справедливо, конечно. Тут только одна проблема: надо понимать, что это значит...

[Urnwestek]

Тут одна проблема, но другая, не указана база. При $n \to 0$ справедливо, а при $n \to \infty$ — нет.

[TamaGOch]

patzer2097, насколько понимаю, предел отношения существует и не равен нулю

$\lim(\frac{\frac{\ln(n)}{n}+\frac{\ln^2(n)}{2n^2} + o (\frac{\ln^2(n)}{2n^2})}{\frac{\ln(n)}{n}}) = 1 + \lim (\frac{\ln(n)}{2n} + o (\frac{\ln(n)}{n})) = 1$, п.с. всё при $n\to\infty$

-- 18.12.2013, 21:52 --

Urnwestek, не наоборот?
забыл упомянуть, что дан ряд, n от 1 до бесконечности, и все действия над общим членом этого ряда

[patzer2097]

ну все правильно, да

[TamaGOch]

спасибо большое, побегу дальше,
Urnwestek, извините, быть может не прав по поводу n->0, к сожалению, наверное не вернусь к этой теме

[Urnwestek]

Да, всё-таки наоборот, слажал.
Да, можно. Только про «n от 1» и «действие над общим членом ряда» не понял.

-- 18.12.2013, 21:07 --

TamaGOch в сообщении #803269 писал(а):

patzer2097, насколько понимаю, предел отношения существует и не равен нулю

Плохое определение, кстати. $f \equiv 0, g \equiv 0$ и хотелось бы чтобы $f = O(g)$, ну то такое...

[patzer2097]

TamaGOch в сообщении #803269 писал(а):

насколько понимаю, предел отношения существует и не равен нулю

кстати, обычно, когда пишут $f\in O(g)$, допускают и возможность $\lim{f/g}=0$. В частности, $x^5\in O(x^6)$ при $x\to\infty$.

[SpBTimes]

Urnwestek
ну, с базой $n \in \mathbb{N}$ вы немного погорячились :)

[Urnwestek]

SpBTimes в сообщении #803278 писал(а):

ну, с базой $n \in \mathbb{N}$ вы немного погорячились :)

В самом начале темы или уже после всех исправлений? (: Что-то я лажаю и лажаю, можете указать на ошибку?

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Прочёл: О, как больно. Справедливо ли?
Долго думал...

А вообще, тут можно, наверно, говорить и об эквивалентности, не только в терминах О-большое/о-малое. При n, стремящемся к бесконечности.