Нестандартное уравнение

[DLL]

Рассмотрим трехмерное векторное пространство над $R$, и линейные операторы зависящие от $t$ гладким образом.

Рассмотрим уравнение на вектор $\vec{b}$:

$$\frac{dA}{dt} \vec{k} + [\vec{b} \times A \vec{k}] = 0 \,\,\ \forall \vec{k}$$

Есть гипотеза, что это уравнение имеет решение только в случае, когда матрица $A(t)$ ортогональная или $A(t)=0$. Буду благодарен любым советам :)

[Oleg Zubelevich]

а расписать в координатах данное уравнение вам в голову не приходило?

[svv]

Умножим скалярно на $b$. Тогда слагаемое с векторным произведением станет смешанным произведением с двумя одинаковыми векторами, т.е. равно нулю. Получается, что $b\cdot \frac {dA}{dt}k=0$, в других обозначениях $b_i \dot a_{ij} =0$, или $\left(\frac {dA}{dt}\right)^T b=0$. Вектор $k$ в силу его произвольности можно выбросить.

[svv]

Пусть $\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3$ — базисные векторы. Пусть $C=\frac{dA}{dt}$.
Пусть $\vec a_k=A\vec e_k,\quad \vec c_k=C\vec e_k, \quad k=1,2,3$.
Векторы $\vec a_k, \vec c_k$ — просто $k$-е столбцы матриц $A$ и $C$.

Тогда
$\vec a_1 \times \vec b = \vec c_1$
$\vec a_2 \times \vec b = \vec c_2$
$\vec a_3 \times \vec b = \vec c_3$

Отсюда много необходимых условий:
$\vec a_k\cdot\vec c_k=0$
$\vec b\cdot\vec c_k =0$

[Vince Diesel]

Имеется решение $A$ — произвольная постоянная матрица, $b=0$. Или второе условие там должно быть $\dot A(t)=0$?

[DLL]

Спасибо за советы. К сожалению, это часть не пригодится.
При более детальном рассмотрении оказалось, что само условие задачи (эта промежуточная задача) получено при условии что матрица $A(t)$ ортогональная.
Хотя задачка получилась оригинальная