Найти область сходимости ряда

[Alvarg]

Найти область сходимости ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{1-x^n}$

Задача очень простая, но не могу понять как правильно решить..
Спасибо за помощь!

[gris]

Попробуйте поанализировать поведение общего члена в трёх областях его определения.

[Alvarg]

gris в сообщении #801421 писал(а):

Попробуйте поанализировать поведение общего члена в трёх областях его определения.

при $|x|>1$ получается что сходимости нет.
а если $|x|<1$ т отам получаем что общий член стремится к нулю. Но можем ли мы на этом основании утверждать о сходимости?

[Limit79]

Alvarg в сообщении #801531 писал(а):

общий член стремится к нулю. Но можем ли мы на этом основании утверждать о сходимости?

Нет, не можем. Так как это необходимое условие сходимости, но не достаточное.

[Alvarg]

А мы ведь можем в данном случае применить радикальный признак Коши?

[gris]

Конечно, причём сразу для абсолютной сходимости. Или, что то же самое, ограничить геометрической прогрессией.