Единственность решения в классе функций, растущих не быстрее, чем

, доказал Тихонов. Есть в книжках по УРЧП. А ограниченность с весом (свое пространство для каждого фиксированного

и толщина слоя по

тоже своя) думаю, вытекает непосредственно из оценки интеграла в исходном сообщении темы. Ссылки не знаю. В
обзоре по параболическим уравнениям есть целый параграф о задаче Коши. В том числе и с растущими начальными данными.