Выяснить, является ли функция действительной частью

[undeadter]

В общем задача такая: Выяснить является ли функция U=x+y+2xy действительной частью аналитической функции f(z). Если является, то восстановить её при данном начальном условии f(-1-i)=0.

Пытался решать, вот что получилось: f(z)=x+y+2xy+(y^2+y-x^2-x+C)i, а сгруппировать не получается. Помогите разобраться, как мне её дорешать, и выяснить (не знаю как это сделать), может она и не является вовсе - раз так задача построена.

[svv]

Ну, хотя бы начинает группироваться? Вот, например, $x$ с чем хочет соединиться? И во что?

[provincialka]

Ну, проверка описана во всех учебниках. Кстати, оформите формулы $\TeX$

[undeadter]

У меня получилось $Z-iZ+2xy+(y^2)i-(x^2)i+Ci$, где iZ - там сомневаюсь, если начало правильное, то не знаю как поступить с оставшимися переменными

[provincialka]

Начало правильное, а потом везде вторая степень. Квадрат, значит. Посмотрите на $z^2$

[undeadter]

Если $Z^2=(x+iy)^2$, то получаю через формулу квадрата суммы такое равенство: $Z^2=x^2+2xyi+(yi)^2$. Теперь полученное выражение умножаю на $-i$, от сюда: $(Z^2)/-i=-(x^2)i+2xy+(y^2)i$. В итоге у меня получилось следующая функция: $f(z) = Z-iZ-(Z^2)/i$.

Начальное условие такое f(-1-i)=0, подставляю $Z=-1-i$ в функцию, получается $(-1-i)-i(-1-i)-((-1-i)^2)/i$. Упрощаю выражение: $ -2 - 2 = 0$, где-то знаки напутаны, сейчас проверю.

Так как все-таки узнать является ли функция действительной частью аналитической функции, чтобы не прорешивать всю задачу?

[provincialka]

1. Вы константу забыли, ведь была же.
2. Смотрите условия Коши-Римана. А что, у вас лекций нет?

-- 12.12.2013, 00:14 --

Да, кстати, вы пишите "умножить на $-i$", а сами зачем-то делите.

[undeadter]

Так, получается если я умножаю правую часть равенства на какое-то число или переменную, то левую я должен разделить на это же число, или я не прав?

Все, задача решена успешно! Спасибо вам за помощь!

[provincialka]

Да, по поводу проверки на аналитичность. Нужно следствие из Коши-Римана, вещественная часть должна быть гармонической функцией. И мнимая - тоже.

-- 12.12.2013, 00:31 --

undeadter в сообщении #799448 писал(а):

Так, получается если я умножаю правую часть равенства на какое-то число или переменную, то левую я должен разделить на это же число, или я не прав?

Нет, с обеими частями надо поступить одинаково.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

undeadter в сообщении #799448 писал(а):

Так, получается если я умножаю правую часть равенства на какое-то число или переменную, то левую я должен разделить на это же число, или я не прав?

Не понимаю, как вы сдали ЕГЭ или что там у вас было

[svv]

(Aritaborian)

А может, он и не сдавал. Контрамоция. Непрерывной быть не обязанная.

[Aritaborian]

(svv)

То есть, мы имеем шанс стать свидетелями того, как undeadter будет советоваться с нами насчёт использования счётных палочек?

[svv]

(Оффтоп)

Точно. Более того: помогая контрамоту, вы прокладываете путь его деградации.

[Otta]

(Оффтоп)

Не думаю. В очередную полночь он опять всё забудет.

[undeadter]

Я имел в виду такое действие, просто описал его неправильно. Например: исходное $Z=2.5i$, умножил его на 2, получил $2Z=5i$, потом вернулся опять к Z таким действием: $Z=5i/2$. То-есть сначала умножил, потом разделил.