Запаздывающие потенциалы Лиенара-Вихерта

[Marina_Slavyanka]

[quote="Munin в [url=http://dxdy.ru
Мунин:
Да всем плевать.
Мунин:
Занимаясь физикой и математикой, будьте любезны пользоваться обозначениями физики и математики. Кто не умеет пользоваться принятым языком - автоматически демонстрирует себя невеждой, и отталкивает окружающих от серьёзного разговора.[/quote]
Марина Славянка:
То плеваться вздумали по-хамски, а то "будьте любезны" и еще открытый намек, что топикстартер является невеждой! А не слишком ли нагло и самоуверенно изволили выразиться, господин мунин? Далеко не невежда! И даже намекать на это - это уже безобразно грубо.

[Munin]

Marina_Slavyanka в сообщении #799617 писал(а):

и еще открытый намек, что топикстартер является невеждой

Вы ошиблись. Здесь нет открытого намёка. Здесь это сказано прямым текстом.

Marina_Slavyanka в сообщении #799617 писал(а):

Далеко не невежда!

Его уровень всем наглядно виден. А если вы не можете его оценить - это говорит кое-что и о вашем уровне.

Ситуация примерно такая. A заявляет: 2+2=5. B заявляет: "A далеко не невежда!"

[photon]

Marina_Slavyanka, вам только что делали замечание за оффтопик, а тут же сразу снова оффтоп + переход на личности и коверкание ников. Я думаю, стоит отдохнуть недельку.

[ser]

Munin в сообщении #799599 писал(а):

Преобразование Лоренца - всего лишь инструмент, чтобы получить потенциал в случае равномерного прямолинейного движения. Чтобы было с чем сравнивать.

Что сравнить. Потенциалы Лиенара-Вихерта и преобразования Лоренца?

Munin в сообщении #799599 писал(а):

Вы-то берёте потенциал заряда, находящегося на подходящем расстоянии, но при этом неподвижного - а это ошибка. Заряд, придя в нужную точку, продолжает двигаться. Его поле при этом сжато, и потенциал другой.

Вы ничего не напутали. Это у Вас в преобразованиях Лоренца заряд в системе $K’$ покоится, а у меня заряд в этой системе движется из точки 2’ в точку 2 и далее, а потенциал мы определяем в неподвижной точке $P$ , т.е. потенциалы Лиенара-Вихерта мы определяем в системе отсчета $K’$, которая у нас покоится, и здесь не должно быть никаких преобразований Лоренца. Эти преобразования нам нужны в том случае, когда мы хотим посмотреть, как этот потенциал будет изменяться при взгляде из другой системы. Например, мы нашли формулу для изменения потенциала в точке $P$ от заряда движущегося в системе отсчета неподвижной относительно Земли и хотим посмотреть как этот потенциал будет изменяться при взгляде с Марса с учетом того, что система Земли будет двигаться относительно Марса. Только меня взгляд марсиан на потенциалы Лиенара-Вихерта не интересует, т.к. я нахожусь на Земле. Да и сами по себе преобразования Лоренца и запаздывание потенциалов Лиенара-Вихерта являются совершенно разными эффектами, которые не могут подменять друг друга, а могут только накладываться друг на друга. Ведь преобразования Лоренца вызваны изменением размеров и темпа течения времени в системе движущейся относительно другой неподвижной системы, а запаздывание потенциалов Лиенара-Вихерта вызвано конечностью скорости распространения любого взаимодействия в конкретной неподвижной системе отсчета.

Munin в сообщении #799599 писал(а):

Я же вас не тыкаю в формулы преобразований Лоренца выше по параграфу, я указываю конкретно на формулу (38.3). Именно она должна получаться, а не ваша $e/R.$ Разумеется, правильная формула будет равна неправильной $e/R$ только приближённо, но это не проблема правильной формулы - правильная формула остаётся точной сама по себе.

Ну, при чем тут преобразования Лоренца. Я же Вам выше объяснил, что в формуле (2) у Ландау рассматриваются потенциалы Лиенара-Вихерта и у него при этом система координат неподвижна и все вычисления происходят в этой системе координат. Если хотите посмотреть как эта формула Ландау

$\varphi=e/(R’-\dfrac{\mathbf{vR'}}{c})$ (2)

будет выглядеть при взгляде из другой покоящейся системы $K$, если мы заставим систему $K’$, в которой мы получили формулу (2), двигаться со скоростью $V’$, то тогда и подвергайте формулу (2) преобразованиям Лоренца. Кстати, у Вас там в формуле (38,3) с принятыми обозначениями вообще получается

$\varphi= e/R^*=e/(x-Vt)=e/0$ (38,3)

т.к. координаты $Y$ и $Z$ по условию задачи равны нулю и правая часть формулы (38,4) будет равна нулю, а в оставшейся части тоже получается ноль, т.к. по условию задачи $x=Vt$. И что Вы собираетесь дальше делать с этой бесконечностью я ума не приложу, но это Ваши проблемы, а меня интересуют только потенциалы Лиенара-Вихерта в покоящейся системе координат, т.е. формула (2).

Munin в сообщении #799599 писал(а):

ser в сообщении #799545 писал(а):

А так Вы используете обозначение $V$ для совершенно разных скоростей.

Я его использую только для обозначения скорости заряда. Именно это же значение оно имеет в формуле (38.3). А вывод (38.3) к делу не относится.

У Ландау при выводе потенциалов Лиенара-Вихерта $V$ это действительно скорость заряда в неподвижной системе координат, а в преобразованиях Лоренца это получается скорость системы $K’$ в которой заряд покоится в начале системы координат. Поэтому в первом случае мы получаем значение потенциала в системе $K$ при движущемся в ней заряде со скоростью $V$, а во втором случае мы получаем значение того как будет выглядеть потенциал неподвижного заряда в движущейся системе $K’$ при взгляде на него из неподвижной системы координат $K$, т.е. мы получаем в этих эффектах совершенно разные вещи, которые не надо путать.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Munin]

ser в сообщении #799808 писал(а):

Что сравнить. Потенциалы Лиенара-Вихерта и преобразования Лоренца?

Потенциал в § 38 и потенциал Лиенара-Вихерта в частном случае равномерного прямолинейного движения.

ser в сообщении #799808 писал(а):

Это у Вас в преобразованиях Лоренца заряд в системе $K’$ покоится, а у меня заряд в этой системе движется из точки 2’ в точку 2 и далее

Формула (38.3), (38.4) записана не в системе $K',$ а в системе $K.$ В которой заряд движется.

ser в сообщении #799808 писал(а):

Я же Вам выше объяснил, что в формуле (2) у Ландау рассматриваются потенциалы Лиенара-Вихерта и у него при этом система координат неподвижна и все вычисления происходят в этой системе координат.

Я всё это и так знаю. Но важно то, что при этом заряд движется. Потенциал движущегося заряда - это не $e/R.$ Вам это понятно? Сосредоточьтесь и скажите.

ser в сообщении #799808 писал(а):

Кстати, у Вас там в формуле (38,3) с принятыми обозначениями вообще получается

$\varphi= e/R^*=e/(x-Vt)=e/0$ (38,3)

т.к. координаты $Y$ и $Z$ по условию задачи равны нулю

Как же вы ленивы и не любите считать. Теперь вы не можете посчитать даже простейшую вещь - расстояние между точкой $P$ и точкой положения заряда.

ser в сообщении #799808 писал(а):

У Ландау при выводе потенциалов Лиенара-Вихерта $V$ это действительно скорость заряда в неподвижной системе координат, а в преобразованиях Лоренца это получается скорость системы $K’$ в которой заряд покоится в начале системы координат.

Если это скорость системы, в которой заряд покоится, то значит, в системе $K$ это скорость самого заряда. Неужели я такие вещи объяснять должен?..

[ser]

Munin в сообщении #799818 писал(а):

Потенциал в § 38 и потенциал Лиенара-Вихерта в частном случае равномерного прямолинейного движения.

Да, для равномерного и прямолинейного движения, но для учета разных физических эффектов. А Вы утверждаете, что формула (2) идентична формуле (3) и они отражают один и тот же эффект запаздывания потенциалов Лиенара-Вихерта. Так?

$\varphi=e/(R’-\dfrac{\mathbf{vR'}}{c})$ (2)

$\varphi=e/R^*=e/[(x-Vt)^2+(1-V^2/c^2)(y^2+z^2)]^{1/2}$ (3)

Munin в сообщении #799818 писал(а):

Формула (38.3), (38.4) записана не в системе $K',$ а в системе $K.$ В которой заряд движется.

Нет, у Вас движется не заряд а система отсчета. И размеры могут измениться только в движущейся системе отсчета, а не в движущейся точке, коей является заряд (не может быть у точки размеров). Поэтому преобразования Лоренца надо применять для движущейся системы координат относительно неподвижной системы координат, а не для движущейся точки в неподвижной системе координат.

Munin в сообщении #799818 писал(а):

Я всё это и так знаю. Но важно то, что при этом заряд движется. Потенциал движущегося заряда - это не $e/R.$ Вам это понятно? Сосредоточьтесь и скажите.

Естественно понятно. Я еще в первом посте написал, что это будет $e/R’$

Munin в сообщении #799818 писал(а):

Как же вы ленивы и не любите считать. Теперь вы не можете посчитать даже простейшую вещь - расстояние между точкой $P$ и точкой положения заряда.

Обязательно посчитаю. Только Вы скажите, где в параграфе 38 у Ландау точка $P$.

Munin в сообщении #799818 писал(а):

Если это скорость системы, в которой заряд покоится, то значит, в системе $K$ это скорость самого заряда. Неужели я такие вещи объяснять должен?..

Не плохо было бы объяснять, т.к. я понимаю, что преобразования Лоренца надо применять для двух ИСО, а не для ИСО и отдельной точки в другой ИСО, т.е. подвергать преобразованиям Лоренца надо не сам заряд (точку) в системе $K’$, а результат его проявления в системе$K’$, т.е. потенциалы, которые он создает там.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[photon]

сравните

ser в сообщении #800175 писал(а):

$\varphi=e/(R’-\dfrac{\mathbf{vR'}}{c})$ (2)

и
$\varphi=\dfrac{e}{\left(R’-\dfrac{\mathbf{vR'}}{c}\right)}$

$\varphi=e\left/\left(R’-\dfrac{\mathbf{vR'}}{c}\right)\right.$

В первую очередь, обратите внимание на высоту скобок

[Munin]

ser в сообщении #800175 писал(а):

А Вы утверждаете, что формула (2) идентична формуле (3) и они отражают один и тот же эффект запаздывания потенциалов Лиенара-Вихерта. Так?

Да, утверждаю - при случае прямолинейного равномерного движения.

ser в сообщении #800175 писал(а):

Нет, у Вас движется не заряд а система отсчета.

Ну идите перечитывайте § 38, что ещё я могу сказать?

ser в сообщении #800175 писал(а):

И размеры могут измениться только в движущейся системе отсчета, а не в движущейся точке

Вы о чём вообще? Впрочем, не отвечайте, не хочу знать. Никто про изменение размеров в точке не говорил.

ser в сообщении #800175 писал(а):

Естественно понятно. Я еще в первом посте написал, что это будет $e/R’$

Нет, и не $e/R'.$

ser в сообщении #800175 писал(а):

Обязательно посчитаю. Только Вы скажите, где в параграфе 38 у Ландау точка $P$.

Это называется точка наблюдения поля, и её координаты $x,y,z.$ Впрочем, и в § 63 координаты этой точки обозначены так же.

ser в сообщении #800175 писал(а):

Не плохо было бы объяснять, т.к. я понимаю, что преобразования Лоренца надо применять для двух ИСО, а не для ИСО и отдельной точки в другой ИСО

Всё так и есть.

ser в сообщении #800175 писал(а):

т.е. подвергать преобразованиям Лоренца надо не сам заряд (точку) в системе $K’$, а результат его проявления в системе$K’$, т.е. потенциалы, которые он создает там.

Надо подвергать преобразованиям Лоренца и то, и другое. Но на самом деле, имеет место такое соотношение:

$$\xymatrix{(Vt,0,0) \ar@(ul,ur)@0{-}[]^{K} \ar@{<->}[d]_{\mathrm{MxE}} \ar@{<->}[r]^{\mathrm{LT}} & (0,0,0) \ar@(ur,dr)@0{-}[]^{\text{заряд}} \ar@(ul,ur)@0{-}[]^{K'} \ar@{<->}[d]^{\mathrm{MxE}} \\ \varphi \ar@{<->}[r]_{\mathrm{LT}} & \varphi' \ar@(ur,dr)@0{-}[]^{\text{потенциал}} }$$

где $\mathrm{MxE}$ обозначают уравнения Максвелла, а $\mathrm{LT}$ - преобразования Лоренца. Поскольку действует принцип относительности, то пройдя по этой диаграмме по одному пути, мы получим тот же ответ, что и пройдя по другому пути. Именно это и используется в § 38: вместо того, чтобы (трудоёмко) вычислять потенциалы движущегося заряда по уравнениям Максвелла, там берут известные потенциалы неподвижного заряда, и преобразуют по Лоренцу, что сделать просто:

$$\text{вместо}\qquad\xymatrix{(Vt,0,0) \ar@(ul,ur)@0{-}[]^{K} \ar[d]_{\mathrm{MxE}} & (0,0,0) \ar@(ul,ur)@0{-}[]^{K'} \\ \varphi & \varphi'}\qquad\text{вычисляют}\qquad\xymatrix{(Vt,0,0) \ar@(ul,ur)@0{-}[]^{K} \ar[r]^{\mathrm{LT}} & (0,0,0) \ar@(ul,ur)@0{-}[]^{K'} \ar[d]^{\mathrm{MxE}} \\ \varphi & \varphi' \ar[l]_{\mathrm{LT}}}$$

(Точнее, конечно, потенциалы совпадают только с точностью до калибровочных преобразований, но в § 38 и § 63 используется одна и та же калибровка, так что это незаметно, и можно об этом даже вообще не вспоминать.)

[ser]

Munin в сообщении #800301 писал(а):

Да, утверждаю - при случае прямолинейного равномерного движения.

Ну, раз мы выяснили позиции, то тогда остается только одно - сравнить на конкретном примере потенциалы, рассчитанные по разным формулам.

Munin в сообщении #800301 писал(а):

Нет, и не $e/R'.$

Тогда и это тоже проверим на том же примере.

Munin в сообщении #800301 писал(а):

Это называется точка наблюдения поля, и её координаты $x,y,z.$ Впрочем, и в § 63 координаты этой точки обозначены так же.

Да в п.63 $x, y, z$ это координаты точки наблюдения $P$ и это четко оговорено, а в п.38 это не оговорено и к тому же написано, что $x=Vt$ это координата заряда. Поэтому, у меня в предыдущем посте и получилось $x-Vt=0$. А если бы были использованы разные обозначения для координат заряда и точки наблюдения, то никаких неясностей бы не было, но будем считать, что и с этим разобрались.

Munin в сообщении #800301 писал(а):

Надо подвергать преобразованиям Лоренца и то, и другое. Но на самом деле, имеет место такое соотношение:

Спасибо, конечно, за такой развернутый ответ. Но сколько не говори халва, халва, а во рту слаще не становится, ведь, как говорится, – лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Так, что я сейчас займусь подготовкой примера.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Munin]

ser в сообщении #800422 писал(а):

Ну, раз мы выяснили позиции, то тогда остается только одно - сравнить на конкретном примере потенциалы, рассчитанные по разным формулам.

Давайте.

ser в сообщении #800422 писал(а):

Да в п.63 $x, y, z$ это координаты точки наблюдения $P$ и это четко оговорено, а в п.38 это не оговорено

Оговорено, см. напр. после формулы (38.6).

ser в сообщении #800422 писал(а):

Но сколько не говори халва, халва, а во рту слаще не становится, ведь, как говорится, – лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Так, что я сейчас займусь подготовкой примера.

Те, кто умеют делать выкладки, обходятся без примеров. Впрочем, в вашей неуклюжести и беспомощности мы уже в этой теме убеждались несколько раз (неумение подставлять одни формулы в другие, например), так что ждать этого от вас нет смысла.

[ser]

Munin в сообщении #800437 писал(а):

ser в сообщении #800422 писал(а):

Ну, раз мы выяснили позиции, то тогда остается только одно - сравнить на конкретном примере потенциалы, рассчитанные по разным формулам.

Давайте.

Давайте на конкретном примере рассмотрим различные формулы для учета потенциалов Лиенара-Вихерта (далее Л-В), т.е. для учета запаздывания по координатам потенциала движущегося заряда, которые мы рассмотрели Выше. На всякий случай напоминаю, что запаздывающие потенциалы это потенциалы, пришедшие из прошлого, которые задержались там пока летели от одной точки, где в это время был заряд, до другой точки, где его зафиксировали в текущий момент времени. А для большей убедительности дам несколько цитат
1-БСЭ (Тамм И. Е., Основы теории электричества, 7 изд., М. — Л., 1957, гл. 7.)
Запаздывающие потенциалы, потенциалы переменного электромагнитного поля, учитывающие запаздывание изменений поля в данной точке пространства по отношению к изменению зарядов и токов, создающих поле и находящихся в др. точках пространства.
2- Словари и энциклопедии на академике http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_physics/450/
Если в момент времени $t$ происходит изменение распределения зарядов или токов, то на расстоянии $R$ от них, вследствие конечности скорости $c$ распространения эл.-магн. поля, это изменение проявится с нек-рым запозданием. Поэтому в рассматриваемой точке значение потенциалов эл.-магн. поля в момент $t$ определяется плотностями тока и заряда источника поля в момент времени $t=t-R/c$, где $R/c$ — время запаздывания.

Так вот, я предложил для расчета запаздывающих потенциалов Л-В формулу (1), которую я применяю в практических расчетах при использовании итерационного метода решения. А Вы Munin настаиваете на том, что моя формула итерационных вычислений неправильная, а правильными являются точные формулы (2) и (3), которые, как Вы заявляете, дают один и тот же результат, хотя мы явно видим, что в них используются совершенно разные подходы. Формулу (2) Ландау получил, рассматривая действительно процесс запаздывания потенциала, а формула (3) это просто преобразования Лоренца для движущейся ИСО в которой рассматриваются потенциалы заряда покоящегося в этой ИСО. А для наглядности рассмотрения всех этих трех формул я подготовил один универсальный рисунок.

$\varphi=e/(R+V_r dt){\approx}e/R’$ (1)


$\varphi=e\left/\left(R’-\dfrac{\mathbf{vR'}}{c}\right)\right.$ (2)


$\varphi=e/R^*$ (3)


$R^*= \sqrt{(x-Vt)^2+(1-V^2/c^2)(y^2+z^2)}$




Итак, мы имеем точечный заряд $e$, который в данный момент времени $t$ находится в точке 2 и продолжает двигаться по оси $X$ со скоростью $V$, а нам надо найти потенциал, который он при этом создает в точке наблюдения $P$. Этот запаздывающий потенциал определится как потенциал, который создается при нахождении заряда в точке 2’ в момент времени $t’$. Пусть у нас расстояние $R’=6$ м, а ордината точки $P$ будет $y=3$ м, и таким образом имеем $x=5,2$ м. Скорость распространения фронта электрического поля $c$ будет равна скорости света, а скорость заряда $V$ будет в два раза меньше. В тот момент, когда заряд $e$ пролетал начало координат (точка 2’) мы начали отсчет времени $t$ необходимого, чтобы фронт поля достиг точки $P$ и таким образом приняли, что у нас время $t’=0$. Исходя из того, что скорость света $c=3\cdot 10^8$ м/с, фронт поля преодолеет расстояние $R’$ за время $t=R’/c=2\cdot 10^{-8}$ с, а заряд за это время переместится в точку 2 с координатой $x_2=V t=3$ м. При этом на рисунке показано три положения фронта поля (окружности) в разные моменты времени.

При обсуждении этого вопроса часто путают понятия «запаздывание потенциалов» и «распределение зарядов, создающих потенциал, по объему тела», поэтому дам некоторые пояснения. Если бы у нас в точке наблюдения $P$ находился точечный пробный заряд, то на него действовал бы потенциал заряда $e$ именно из точки 2’, а в том случае, если пробный заряд будет иметь значительные размеры, то надо уже учитывать действие на него разных потенциалов в момент времени $t$. Потенциал из точки 2’ будет действовать на середину заряда $P$, а фронт потенциала из точки 2’- будет уже покидать заряд $P$ и фронт потенциала из точки 2’+ только долетит до заряда $P$. При этом у нас на разные части заряда $P$ будут не только действовать разные значения потенциалов из точек 2’-, 2’ и 2’+, но и направление прохождения через него фронтов поля будет различным (смотрите отрезки линий равного потенциала около заряда $P$). Похожую картину мы будем наблюдать и в том случае, если заряд $P$ будет точечным, а заряд $e$ будет иметь значительные размеры. Только в этом случае в тот момент, когда фронт поля из точки 2’+ (от части заряда $e$) долетит до заряда $P$, потенциалы от частей заряда $e$ в точках 2’- и 2’ долетят до точки $P$ не из этих положений, которые они занимают в этот момент времени на поверхности самого заряда, а из точек, где они были немного раньше. Впрочем, мы можем не рассматривать эти тонкости, т.к. заряд $e$ у нас по условиям задачи точечный, а потенциал мы тоже определяем в точке.

Я, исходя из того, что мне надо было практически вычислять потенциалы Л-В в моей программе Solsys7mm, где я учитывал запаздывание потенциалов гравитационного поля планет в Солнечной системе, предложил формулу (1). Она позволяет это делать в автоматическом режиме за несколько итераций, т.е. без вмешательства оператора для нахождения корней квадратного уравнения, как это предложил делать Ландау в простейшем случае прямолинейного и равномерного движения. При этом я использую две итерации, что при скоростях планет Солнечной системы дает почти точный результат. Во время моделирования движения планет мне известны только текущие координаты планет, т.е. у нас это координаты точки $P$ и заряда $e$ в точке 2. Исходя из этого мы можем найти время $dt_1=R/c=1,24\cdot 10^{-8}$ с и скорость изменения радиус-вектора $V_{r_1}=V\cos a=0,885\cdot 10^8$ м/с, а затем $R_1=R+V_{r_1} dt_1=4,82$ м. Теперь при второй итерации мы, исхдя уже из того, что потенциалу надо было преодолеть расстояние $R_1$, находим новое время запаздывания потенциала $dt_2=R_1/c=1,61\cdot 10^{-8}$ с и новую скорость изменения радиус-вектора, т.к. у нас изменился угол между радиус-вектором и скоростью (был 53,7 градуса, а стал 38,5 градуса) $V_{r_2}=V\cos a_1=1,175\cdot 10^8$ м/с. Теперь можем уточнить расстояние, которое пролетел фронт запаздывающего потенциала $R_2=R_1+V_{r_2}(dt_2-dt_1)=5,25$ м и так до тех пор пока не добьемся приемлемой точности решения.

$\varphi=e/R_1{\approx}e/R’$ (1)

$R_1=R+V_r dt$

Вообще то, я пользуюсь немного другим алгоритмом, т.к. этот алгоритм довольно медленный, менее точный и сложнее второго, а кроме того, здесь возможны проблемы при переходе угла $a$ через 90 градусов, но я изложил Вам именно его, чтобы была аналогия с формулой (2) и было четко видно, что я в знаменателе увеличиваю $R$, а Ландау уменьшает $R’$. А в другом алгоритме я после того, как нахожу $dt_1$, откатываю планеты (заряды) немного назад на расстояние, которое они пролетели бы со своми скоростями за это время по трем осям координат и по новым координатам планет нахожу $R_1$. Затем уже по нему нахожу $dt_2$ и откатываю планеты назад на всем этом промежутке времени и нахожу $R_2$ и т.д. В принципе, мне при моих скоростях планет хватило бы и одной итерации, но я для надежности делаю две, а в рассмотренном нами примере, даже при такой большой скорости заряда, этот алгоритм уже в 4-ой итерации дает $R_4=5,93$ м, т.е. ошибка составляет 1%.

Ну, а теперь, когда мы нашли (пусть приближенно) расстояние $R’$, я думаю не составит большого труда вычислить и потенциал, но я этого делать не буду, чтобы не уйти от главного, т.е. от радиус-векторов из-за которых и получаются в этих формулах (1)…(3) разные потенциалы. Вот давайте и посмотрим, какой радиус-вектор, т.е. знаменатель, получается в формуле (2) для вычисления запаздывающего потенциала. Здесь мы также, как и в моем расчете, не знаем значения $R’$, т.к. нам известны только текущие координаты заряда $e$ и точки $P$, но при прямолинейном и равномерном движение заряда их можно вычислить, что нам Ландау и предлагает сделать. Составляем систему из двух уравнений (первое это его уравнение (63,1), где $R’$ надо выразить через координаты заряда в момент $t’$ и координаты точки $P$, а второе $x’=V t’$), решаем их совместно и находим два корня квадратного уравнения для $x’$. Один корень $x’=4\cdot 10^8$ м нам явно не подходит, а вот второй корень $x’=0$ это явно наше решение. Теперь, т.к. Ландау пишет, что все значения в этой формуле должны быть взяты в момент времени $t’$, нам, чтобы скалярно перемножить вектора надо найти еще угол $a’$, который получается 30 градусов.

$\varphi=e\left/\left(R’-\dfrac{\mathbf{vR'}}{c}\right)\right.$ (2)

$t’+R’/c=t$ (63,1)

Обозначим значение радиуса в знаменателе как $R_z$ и вычислим его $R_z=6-1,5\cdot 10^8\cdot 6\cdot 0,866/3\cdot 10^8=3,41$ м. Как видим, мы получили положение заряда $e$ при таком радиус-векторе, которое не только не соответствует положению заряда в прошлом, но соответствует его положению в будущем времени, т.к. в данный момент времени $t$ у нас $R=3,72$ м. Впрочем, если бы Ландау предложил брать хотя бы среднее значение угла $a$ по пути движения заряда из точки 2’ в точку 2, то он получил бы значение $R_z$ более близкое к $R$ и тогда бы его формула давала не опережение потенциалами времени, а примерно соответствовала бы потенциалам в текущий момент времени. Но, в любом случае это не формула для учета запаздывания потенциалов Л-В.

А теперь давайте посмотрим, что же нам дает формула (3), где используются преобразования Лоренца для потенциала заряда покоящегося в системе $K’$ (на рисунке оси координат $X’$ и $Y’$) которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью $V$ относительно системы координат $K$ (оси $X$ и $Y$). Причем в момент времени $t’=0$ начало системы координат $K’$ и ее оси координат совпадают с началом системы координат $K$ и ее осями координат, а движется она со скоростью $V$ вдоль оси $X$. Здесь нам даже не надо вводить обозначение для интересующего нас радиус-вектора, т.к. Ландау сделал это за нас. Вот давайте и найдем это значение $R^*$ по которому мы будем определять запаздывающие потенциалы. К, сожалению, и здесь у нас получаются гости из будущего, т.к. получается $R^*=3,40$ м, что тоже меньше $R=3,72$ м.

$\varphi=e/R^*$ (3)

$R^*= \sqrt{(x-Vt)^2+(1-V^2/c^2)y^2}$

Интересно отметить, что уменьшение текущего значения $R$ здесь происходит из-за сокращения размеров по оси $Y$, т.е. в направлении перпендикулярном скорости движения системы $K’$, а размеры по оси $X$ остаются неизменными (поэтому эллипсоид Хэвисайда и растягивается по оси $Y$). При этом, если бы точка наблюдения находилась на оси $X$, то мы бы вообще никакого изменения текущего радиус-вектора бы не получили, т.е. эта формула давала бы точно значения текущих значений потенциалов, т.е. при скорости их распространения равной бесконечности. Впрочем, точно также и в формуле (2), если бы точка $P$ находилась на оси $X$, то мы бы получили точные значения потенциалов в текущем времени. В общем, у меня получилось как-то так. Попробуйте Вы. Может быть у Вас получится найти по этим формулам Ландау запаздывающие потенциалы.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Munin]

ser в сообщении #801361 писал(а):

Пусть у нас расстояние $R’=6$ м, а ордината точки $P$ будет $y=3$ м, и таким образом имеем $x=5,2$ м.

:-))) Это вы специально некруглые числа выбрали? На свете столько пифагоровых треугольников существует, так ведь нет... Ну ладно, это мелочь, не ошибка даже.

ser в сообщении #801361 писал(а):

При обсуждении этого вопроса часто путают понятия «запаздывание потенциалов» и «распределение зарядов, создающих потенциал, по объему тела», поэтому дам некоторые пояснения.

Поскольку я не путаю, я пропускаю.

ser в сообщении #801361 писал(а):

нам, чтобы скалярно перемножить вектора надо найти еще угол $a’$, который получается 30 градусов.

А вы разве не знаете формулу скалярного произведения без углов? Подсказываю:
$\mathbf{vR'}=v_xR'_x+v_yR'_y+v_zR'_z.$
(Теперь ясно, откуда вы взяли такой "некруглый" треугольник. Вы просто "некруглых" углов боитесь. На самом деле, они не страшны, потому что в векторных выкладках углы практически никогда не "всплывают" в явном виде, а все произведения целых чисел дают только целые числа.)

ser в сообщении #801361 писал(а):

Обозначим значение радиуса в знаменателе как $R_z$

Э нет, $R_z$ - это координата вектора $\mathbf{R}.$ Нельзя это обозначение использовать. Возьмите какое-нибудь другое.

ser в сообщении #801361 писал(а):

Обозначим значение радиуса в знаменателе как $R_z$ и вычислим его $R_z=6-1,5\cdot 10^8\cdot 6\cdot 0,866/3\cdot 10^8=3,41$ м. Как видим, мы получили положение заряда $e$ при таком радиус-векторе, которое не только не соответствует положению заряда в прошлом, но соответствует его положению в будущем времени

Тут всё верно. Но создан этот потенциал в прошлом. А в момент времени $t'$ он только добрался до точки $P.$

В этом и состоит суть электродинамики запаздывающих потенциалов: потенциалы, которые создаёт в момент времени $t'=0$ в точке $(0,0,0)$ движущийся заряд, как раз таковы, чтобы, когда они доберутся до точки наблюдения $P,$ они бы "указывали" на заряд в том месте, куда бы он к тому моменту $t$ добрался (причём ещё и с поправкой на "эллипсоид Хевисайда"). Но заряд не обязан всё время двигаться прямолинейно и равномерно. Он может свернуть, он может затормозить и развернуться, но всё равно, заряды, придущие в точку $P$ в момент $t,$ будут такими, как будто заряд находился бы в точке $2.$ В этом случае, там был бы "мнимый" заряд, как бывает "мнимое изображение" в оптике.

ser в сообщении #801361 писал(а):

К, сожалению, и здесь у нас получаются гости из будущего, т.к. получается $R^*=3,40$ м

Если вести расчёт точно, а не с ошибками округления, то должны получиться точно равные числа. Это как раз и означает, что формулы post801361.html#p801361 (2) и (3) совпадают между собой - они дают одинаковый результат. И он отличается от неправильного по формуле post801361.html#p801361 (1).

ser в сообщении #801361 писал(а):

В общем, у меня получилось как-то так. Попробуйте Вы. Может быть у Вас получится найти по этим формулам Ландау запаздывающие потенциалы.

Расчёты у вас правильные. Из них реальности соответствуют расчёты по формулам (2) и (3) (а расчёты по (1) я даже не проверял). То, что они сошлись между собой - это как раз указание вам, что формулу (2), взятую из ЛЛ-2 (63.5), нельзя поправлять выбранным вами способом, она уже точна.

А интерпретация этих расчётов - ну что ж, вы пока её не уловили, но можете уловить.

[ser]

Munin в сообщении #801430 писал(а):

Тут всё верно. Но создан этот потенциал в прошлом. А в момент времени $t'$ он только добрался до точки $P.$
В этом и состоит суть электродинамики запаздывающих потенциалов: потенциалы, которые создаёт в момент времени $t'=0$ в точке $(0,0,0)$ движущийся заряд, как раз таковы, чтобы, когда они доберутся до точки наблюдения $P,$ они бы "указывали" на заряд в том месте, куда бы он к тому моменту $t$ добрался (причём ещё и с поправкой на "эллипсоид Хевисайда"). Но заряд не обязан всё время двигаться прямолинейно и равномерно. Он может свернуть, он может затормозить и развернуться, но всё равно, заряды, придущие в точку $P$ в момент $t,$ будут такими, как будто заряд находился бы в точке $2.$ В этом случае, там был бы "мнимый" заряд, как бывает "мнимое изображение" в оптике.

Во-первых, я не согласен с Вашей трактовкой запаздывания потенциалов Лиенара-Вихерта и хотелось бы послушать мнения по этому вопросу еще кого ни будь (желательно из официальных источников).
Во-вторых, Вы наверное описались вот в этой фразе «Тут всё верно. Но создан этот потенциал в прошлом. А в момент времени $t’$ он только добрался до точки $P$» и хотели сказать, что он добрался в момент времени $t$. Или у Вас заряд летит справа налево, если потенциал, который он создал, находясь в точке 2, т.е. в момент времени $t$ у Вас долетел до точки $P$ только в момент $t’$.
В-третьих, почему формулы (2) и (3) не указывают точно на положение заряда в момент времени $t$, т.к. по ним радиус получается 3,4 м, а в действительности у нас он 3,72 м (с моими расчетами Вы согласились, т.е. арифметические ошибки, кроме округления до третьей значащей цифры, отпадают).
В-четвертых, зачем заряду $P$ знать, где в момент времени $t$ находится заряд $e$, если на него будет действовать не «мнимый» заряд из точки 2, а реальный из точки 2’. Это только астрономам, чтобы создать правильные теории планет, надо учитывать планетную аберрацию, т.е. временную задержку сигнала, а заряду то это зачем. Или Вы считаете, что в момент времени $t$ потенциал в точке $P$ будет такой, как если бы заряд $e$ находился неподвижно в точке 2, а не в точке 2’.
В-пятых, зачем было городить весь этот огород с запаздыванием, если у Вас получается, что нам надо получить потенциал по текущим координатам зарядов, которые и так всегда известны.

Munin в сообщении #801430 писал(а):

Расчёты у вас правильные. Из них реальности соответствуют расчёты по формулам (2) и (3) (а расчёты по (1) я даже не проверял). То, что они сошлись между собой - это как раз указание вам, что формулу (2), взятую из ЛЛ-2 (63.5), нельзя поправлять выбранным вами способом, она уже точна.

Я формулу (2) не поправлял, я получил свою формулу (1), которая принципиально отличается от (2) тем, что у меня потенциалы рассчитываются запаздывающие, т.е. получаются из прошлого времени, а по формуле (2) потенциалы получаются опережающие, т.е. из будущего времени. И, хотя моя формула получена для итерационных расчетов, она дает уже в первом приближение реальный результат (из прошлого), а формула (2) дает фантастический результат (из будущего).

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Munin]

Я вот всё жду, неужели удастся такого замшелого отщепенца, как вы, побудить встать на путь нормальных знаний...

Та-а-акс, посмотрим, что вы на этот раз написали...

[Munin]

ser в сообщении #801946 писал(а):

Во-первых, я не согласен с Вашей трактовкой запаздывания потенциалов Лиенара-Вихерта и хотелось бы послушать мнения по этому вопросу еще кого ни будь (желательно из официальных источников).

"Официальных" источников в науке нет, а послушать мнения ещё кого-нибудь - это можно организовать. Здесь в разделе много специалистов и даже студентов, которые могут высказаться грамотно по этому вопросу. Например, DimaM, warlock66613, Someone, fizeg, photon, Freude, longstreet, EEater, Ms-dos4, lucien, EvilPhysicist, Alex-Yu, espe, Paganel - это только навскидку, и наверняка много кто ещё, кого я просто не вспомнил, или в ком понапрасну усомнился (прощу прощения у таких неупомянутых). Осталось подождать, чтобы кто-нибудь из них заглянул в эту тему.

ser в сообщении #801946 писал(а):

Во-вторых, Вы наверное описались вот в этой фразе «Тут всё верно. Но создан этот потенциал в прошлом. А в момент времени $t’$ он только добрался до точки $P$» и хотели сказать, что он добрался в момент времени $t$.

Да, верно, описался. Это легко понять по следующему абзацу, где я $t$ и $t'$ не путаю.

ser в сообщении #801946 писал(а):

В-третьих, почему формулы (2) и (3) не указывают точно на положение заряда в момент времени $t$,

Вот тут давайте разбираться. Вспомните, что потенциал - это вообще скаляр. Число. Поэтому на положение он указывать не может. Скалярную величину могут изменить разные факторы. Она может стать больше или меньше по другим причинам, а не только из-за изменения положения заряда. Именно это здесь и происходит: имеет место "сжатие эллипсоида Хевисайда".

Но у нас в распоряжении есть другая величина, которая позволяет направление уловить. Эта величина - это вектор напряжённости электрического поля $\mathbf{E}.$ И вот он будет указывать именно на заряд в той точке, в которой он находится в момент времени $t.$ Осталось его посчитать аккуратно. Это непросто, потребует взятия нескольких производных, в том числе с учётом того, что $\mathbf{E}$ определяется не только скалярным потенциалом $\varphi,$ но и векторным $\mathbf{A},$ который в выбранной калибровке не равен нулю. Если хотите, можете проделать это упражнение самостоятельно, вам полезно. Если ленитесь - оно уже проделано в § 38 (уже упомянутым "обходным путём", результат (38.8)) и в § 63 (честно, результат (63.8), причём там более сложный результат, чем нужно - он учитывает ускорение заряда в момент времени $t',$ а у вас в примере ускорение нулевое).

ser в сообщении #801946 писал(а):

В-четвертых, зачем заряду $P$ знать, где в момент времени $t$ находится заряд $e$, если на него будет действовать не «мнимый» заряд из точки 2, а реальный из точки 2’.

Зачем - не знаю. Никто не знает. Но уж так электромагнитное поле устроено. Это реальность, её приходится принять такой, какая она есть.

"На пальцах", это для того, чтобы поле вокруг движущегося заряда выглядело таким образом:



а не каким-то другим, некрасивым и несимметричным. Если поле будет другим, то не будут выполняться уравнения Максвелла, не будет выполняться принцип относительности, не будет выполняться 1-й закон Ньютона об инерциальности равномерного прямолинейного движения, и так далее. Но всё это, в конечном счёте, просто связи одного факта с другими фактами. Почему эти факты таковы - никому доподлинно неизвестно. Тут надо интервью с Господом Богом устраивать.

ser в сообщении #801946 писал(а):

Или Вы считаете, что в момент времени $t$ потенциал в точке $P$ будет такой, как если бы заряд $e$ находился неподвижно в точке 2, а не в точке 2’.

Нет. Как если бы заряд находился в точке 2, но не неподвижно! Движение заряда создаёт искажение поля (сжатие "эллипсоида Хевисайда"), поэтому забывать о нём никак нельзя.

ser в сообщении #801946 писал(а):

В-пятых, зачем было городить весь этот огород с запаздыванием, если у Вас получается, что нам надо получить потенциал по текущим координатам зарядов, которые и так всегда известны.

Как раз затем, что заряд не обязан всегда и везде двигаться равномерно и прямолинейно! Я ещё раз повторяю, что после точки 2' он может свернуть, затормозить, хоть начать плясать джигу - всё равно в момент времени $t$ в точке $P$ потенциал об этом ничегошеньки не узнает! Информация о том, что потенциал в момент времени $t$ в точке $P$ должен указывать на точку 2, была отправлена до того, как заряд изменит движение, и поэтому заряд на неё повлиять уже не может. Это как письмо, отправленное по почте: оно дойдёт в срок, но в нём нельзя больше изменить ни словечка.

В § 38 была рассмотрена задача "хорошего поведения" заряда. В этом параграфе, действительно, совершенно незачем было городить огород с запаздыванием, и получился потенциал по текущим координатам зарядов (легко заметить, что $x-Vt$ в формуле (38.4) - это ровно текущая координата заряда и есть). А вот в § 63 рассмотрена задача более общая и более сложная: что делать, если заряд ведёт себя как хочет. Тут и надо вспоминать, что "письмо" заряд уже отправил, и рассчитать задержку этого письма.

Если вы не знаете, зачем вообще нужны запаздывающие потенциалы, то непонятно, зачем вы сунулись в § 63 за расчётами, которые вам не нужны.

ser в сообщении #801946 писал(а):

Я формулу (2) не поправлял, я получил свою формулу (1), которая принципиально отличается от (2)

Ну и ладно. Теперь можете со спокойной душой отправить (1) в мусор.

Кстати, внимание! Для гравитации формулы Лиенара-Вихерта напрямую неверны! Необходимо проделать более сложные вычисления по аналогии, и тогда уже получить аналогичные запаздывающие гравитационные потенциалы. С учётом того, что вы и в готовых-то формулах путаетесь, это задачка не для вас.

ser в сообщении #801946 писал(а):

у меня потенциалы рассчитываются запаздывающие, т.е. получаются из прошлого времени, а по формуле (2) потенциалы получаются опережающие, т.е. из будущего времени. И, хотя моя формула получена для итерационных расчетов, она дает уже в первом приближение реальный результат (из прошлого), а формула (2) дает фантастический результат (из будущего).

Это вы просто не поняли, что значит "запаздывающие потенциалы". Надеюсь, когда вы всё-таки прочитаете учебник внимательно, вы перестанете подменять сложную и интересную реальность своими упрощёнными и неправильными фантазиями.

Повторяю, формула (2) реальна - реальнее некуда. Именно она подтверждается многочисленными электромагнитными экспериментами, начиная с 19 века - миллионами экспериментов, если включать в них все работающие радиоэлектронные приборы, расчитанные именно по этой формуле и её следствиям.