Оно и не обязано легко находиться.
действительно, ошибся в интеграле, прошу прощения, метод решения и ход мыслей правильный у меня?
Наверное. Вы же до конца не дорешали, как знать, что там может поломаться. Дорешайте, подставьте, проверьте.
Вообще есть способы и попроще.
получается интеграл от

. Как его взять?
Ну это уж Вы сами, еще не хватало таблицу интегралов тут писать.