Вопрос по теории категорий

[ipp]

Добрый вечер!

Пытаюсь показать, что ковариантный Hom-функтор $Hom(X,-)$ сохраняет декартовы квадраты, то есть пуллбеки. То есть, если у нас есть диаграмма
$ \begin{array}{ccc} D & \rightarrow & B \\ \downarrow & & \downarrow \\ A & \rightarrow & C \end{array} $
где $f:A \rightarrow C,\ g:B \rightarrow C$, a $p:D \rightarrow A,\ q:D \rightarrow B$ и $g \circ q = f \circ p$, причем для любого объекта $Z$ и пары стрелок $u:Z \rightarrow A,\ v:Z\rightarrow B$, т.ч. $g \circ v = f \circ u$, существует единственный морфизм $\varphi:Z \rightarrow D$ такой, что $u = p \circ \varphi$, $v = q \circ \varphi$,
то диаграмма
$ \begin{array}{ccc} Hom(X,D) & \rightarrow & Hom(X,B) \\ \downarrow & & \downarrow \\ Hom(X,A) & \rightarrow & Hom(X,C) \end{array} $,
c соответствующими стрелками также является диаграммой пуллбека, то есть удовлетворяет тем же свойствам.
Несложно показать (по определению функтора), что эта диаграмма является коммутативной (да и существование вообще: в категории Set пуллбеки всегда существуют). Но как показать теперь универсальность, т.е. что для любого $Q$ и пары стрелок $u':Q \rightarrow Hom(X,A), v' : Q \rightarrow Hom(X,B)$ таких что $Hom(X,f) \circ u' = Hom(X,g) \circ v'$, существует единственный морфизм $\psi:Q \rightarrow Hom(X,D)$, такой что $u' = Hom(X,p) \circ \psi$, $v' = Hom(X,q) \circ \psi$?

Я делал так: пускай есть два таких морфизма, $\psi_1$ и $\psi_2$, такие что $u' = Hom(X,p) \circ \psi_1 = Hom(X,p) \circ \psi_2$, $v' = Hom(X,q) \circ \psi_1 = Hom(X,q) \circ \psi_2$, тогда получаем $Hom(X,f \circ p) \circ \psi_1 = Hom(X, f \circ p) \circ \psi_2$, что ни к чему не приводит.

Подскажите, пожалуйста, как завершить доказательство.

[apriv]

ipp в сообщении #798305 писал(а):

Но как показать теперь универсальность

Предлагаю вспомнить, что исходный квадрат декартов. Для каждого $q\in Q$ у Вас заданы морфизмы из $X$ в $A$ и $B$ с некоторым свойством: поэтому имеется и морфизм в $D$.

[ipp]

apriv в сообщении #798316 писал(а):

ipp в сообщении #798305 писал(а):

Но как показать теперь универсальность

Предлагаю вспомнить, что исходный квадрат декартов. Для каждого $q\in Q$ у Вас заданы морфизмы из $X$ в $A$ и $B$ с некоторым свойством: поэтому имеется и морфизм в $D$.

Извините, пожалуйста, но можно подробнее? Исходный квадрат декартов, да, просто я не очень понимаю, как отождествить элемент из $Q$ с морфизмами $X \rightarrow A$ и $X \rightarrow B$. Более того, какими свойствами должны обладать эти морфизмы? Ведь условие того, что первый квадрат декартов не говорит ничего о том, какими свойствами должны обладать эти самые морфизмы для произвольного объекта $X$.

[ipp]

Также, откуда есть морфизм в $D$?

[apriv]

Ну вот Вы пишете

ipp в сообщении #798305 писал(а):

для любого $Q$ и пары стрелок $u':Q \rightarrow Hom(X,A), v' : Q \rightarrow Hom(X,B)$

Эти стрелки и означают, что для каждого $q\in Q$ заданы морфизмы $u'(q)\colon X\to A$ и $v'(q)\colon X\to B$, а дальнейшее «таких что» означает, что композиции этих морфизмов с морфизмами в $C$ совпадают, то есть, выполняются условия из определения декартовости квадрата.

[ipp]

apriv в сообщении #798384 писал(а):

Ну вот Вы пишете

ipp в сообщении #798305 писал(а):

для любого $Q$ и пары стрелок $u':Q \rightarrow Hom(X,A), v' : Q \rightarrow Hom(X,B)$

Эти стрелки и означают, что для каждого $q\in Q$ заданы морфизмы $u'(q)\colon X\to A$ и $v'(q)\colon X\to B$, а дальнейшее «таких что» означает, что композиции этих морфизмов с морфизмами в $C$ совпадают, то есть, выполняются условия из определения декартовости квадрата.

Хорошо. Но хоть убей не вижу, как из этого вытекает единственность морфизма в $D$

[apriv]

Вам нужна единственность морфизма не в $D$, а в $Hom(X,D)$.

[ipp]

apriv в сообщении #798387 писал(а):

Вам нужна единственность морфизма не в $D$, а в $Hom(X,D)$.

Да, простите, именно о ней и речь. Единственность морфизма в $D$ и так есть, ибо это пуллбэк. Откуда теперь берется единственность морфизма в $Hom(X,D)$? Ну, то есть, насколько я понял, в этом случае нужно как-то "перенести" единственность морфизма в $D$, но вот как (даже если мы имеем хорошее условие на композиции)?

[apriv]

Ну так предположите, что есть два морфизма из $Q$ в $Hom(X,D)$, тогда они отличаются в некоторой точке $q\in Q$, ...

[ipp]

apriv в сообщении #798390 писал(а):

Ну так предположите, что есть два морфизма из $Q$ в $Hom(X,D)$, тогда они отличаются в некоторой точке $q\in Q$, ...

Именно это я и делал ($\psi_1$ и $\psi_2$) в первом сообщении, мой вопрос как раз-таки был про то, как выбраться из этого тупика, то есть, видимо, куда прикручивать то, что исходный квадрат декартов.

[apriv]

Продолжаем: значения этих двух морфизмов в точке $q$ дают нам два морфизма из $X$ в $D$, которые...

[ipp]

apriv в сообщении #798394 писал(а):

Продолжаем: значения этих двух морфизмов в точке $q$ дают нам два морфизма из $X$ в $D$, которые...

Либо я совсем запутался, либо далее нужно сказать, что морфизм $X \rightarrow D$, такой что $u$ есть композиция этого морфизма и морфизма $D \rightarrow A$, a $v$ -- такая же композиция с $D \rightarrow B$, должен быть единственным.

-- 09.12.2013, 23:08 --

То есть, те самые морфизмы $X \rightarrow A$ и $X \rightarrow B$ должны быть композициями $X \rightarrow D$ с $D \rightarrow A$ и $D \rightarrow B$.

[apriv]

Ну да, они и есть композиции, если Вы вспомните определение стрелочек вида $Hom(X,f)$.

[ipp]

apriv в сообщении #798411 писал(а):

Ну да, они и есть композиции, если Вы вспомните определение стрелочек вида $Hom(X,f)$.

Ну, если, скажем, $f:A \rightarrow C$, то $Hom(X,f):Hom(X,A) \rightarrow Hom(X,C)$, то есть, любая стрелка из $Hom(X,A)$ посылается в композицию: $h \mapsto f \circ h$.