Предел отношения последовательностей

[MestnyBomzh]

Добрый вечер! Прошу помощи с такой задачкой: Дано: $\forall n\in \mathbb{N}$ $a_n$ и $b_n$ - целые числа, заданные равенством: $(1+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}$.Найти: $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}$.
Я пытался вывести последовательность вручную, но получается так: $a_1=1;a_2=4;a_3=10;a_4=28;a_5=76$ и $b_1=1;b_2=2;b_3=6;b_4=16;b_5=44$. И никакой закономерности я тут не вижу,не говоря уже о том, что это просто подбор..То есть я думаю,тут нужно угадать формулы для $a_n$ и $b_n$,доказать их по индукции,а потом уже посчитать предел...Помогите,пожалуйста

-- 08.12.2013, 23:31 --

кажется, $b_n=b_{n-1}+a_{n-1}$
хах,а $a_n=a_{n-1}+3b_{n-1}$

[Slip]

А чему равно $(1-\sqrt{3})^n$?

[provincialka]

Slip имеет в виду, как это выражается через $a_n,b_n$

[MestnyBomzh]

$a_n-\sqrt{3}b_n$?

[ИСН]

Похоже на то. А чему это равно, вернее, к чему стремится... численно?

[MestnyBomzh]

$(1-\sqrt{3})^n\to 0$ при $n\to \infty$,а значит и $a_n-\sqrt{3}b_n\to 0$, отсюда $\frac{a_n}{b_n}\to \sqrt{3}$ так?

[ИСН]

Выходит, что так.

[MestnyBomzh]

Оказалось просто,спасибо!