Сходимость последовательности случайных величин

[deoxys37]

Формулировка задачи состоит в следующем: нужно доказать, что последовательность нормально распределенных случайных величин $\lbrace\xi}_n\rbrace, (n\geqslant1)$ c параметрами распределения $(0, 1/N)$ сходится к нулю почти везде $\xi_n\to 0$. Записав математическое ожидание $M\xi$ с помощью интеграла от плотности распределения Гаусса с данными параметрами, легко показать, что данная последовательность сходится в среднем порядка $p$, но из сходимости в среднем не следует сходимость почти везде. Наверное, нужно пойти каким-то другим способом, но каким?

[--mS--]

Очевидно, следует использовать какие-либо критерии сходимости почти наверное.

[deoxys37]

--mS-- в сообщении #797905 писал(а):

Очевидно, следует использовать какие-либо критерии сходимости почти наверное.

Да, задача состоит в том, чтобы показать, что $\forall \epsilon: P\lbrace\exists N, \forall n > N: \mid \xi_n\mid < \epsilon\rbrace = 1$, но откуда можна в даном случае получить такой результат я не знаю, так как из заданой плотности распределения могу получить только сходимость в среднем или по вероятности, но не почти везде. Если вы знаете какой критерий сходимости почти везде здесь не плохо было бы применить, то, прошу, не молчите .

[Otta]

Я бы слабую сходимость проверила для начала. По распределению.

[--mS--]

deoxys37 в сообщении #797929 писал(а):

Если вы знаете какой критерий сходимости почти везде здесь не плохо было бы применить, то, прошу, не молчите .

Конечно, знаю. В любом учебнике для математиков - Боровков, Ширяев, да мало ли где ещё. Разумеется, если Вы будете искать там сходимость почти наверное, почти всюду, с вероятностью единица, но не "почти везде" :) Вы выписали определение. А нужно какое-то простое достаточное условие (не критерий, конечно, неправильно выразилась).

-- Пн дек 09, 2013 08:31:55 --

Otta в сообщении #797987 писал(а):

Я бы слабую сходимость проверила для начала. По распределению.

ТС уже проверил даже сходимость в среднем, тем более по вероятности. Слабая сходимость ещё менее поможет.

[Otta]

--mS-- в сообщении #798050 писал(а):

Слабая сходимость ещё менее поможет.

Да, это я провинилась, загнала $n$ в знаменатель и думаю, что ж у меня одним способом сходится, а другим нет. Конечно, не поможет.

[deoxys37]

Вроде бы все получилось. Спасла лемма Бореля-Кантелли. Спасибо.