Сходимость метода простой итерации

[DigitChar]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста разобраться с методом простых итераций. Если вы знаете хорошие источники, где понятно объяснена теория, то посоветуйте, пожалуйста.
Почему в результате получаем максимальное собственное значение, а не минимальное?
Почему если на вектор умножить матрицу слева, то получаем именно собственный вектор?
Вот у нас есть матрица $A$. Умножаем её на вектор $y$.
$y_1 = Ax_0,$
$y_2 = Ay_1,$
...
$y_n = Ay_{(n-1)},$
При этом процессе мы получаем ненормированный гигантский вектор и при $n \to \infty$ это, вдруг, собственный вектор.
Почему метод всё-таки сходится?

[Ms-dos4]

Прочитайте здесь

[Евгений Машеров]

Найдите проекции начального вектора $x_0$ на собственные вектора. Воспользуйтесь тем, что умножение на матрицу операция линейная и посмотрите, что с произойдёт с проекциями вектора $x_1$ и т.д.
Да, и обычно нормализуют длину вектора на каждом шаге, во избежание неудобно больших чисел.

[ewert]

DigitChar в сообщении #797792 писал(а):

Почему в результате получаем максимальное собственное значение, а не минимальное?

А почему минимальное? Раз так, то почему не среднее какое-нибудь, в конце концов?...

Евгений Машеров в сообщении #797907 писал(а):

Найдите проекции начального вектора $x_0$ на собственные вектора.

Только не проекции и не на обязательно собственные. Бывают ещё и присоединённые. Короче, надо приплетать жорданову форму матрицы и по соответствующему корневому базису и раскладывать.

[DigitChar]

Ms-dos4 в сообщении #797822 писал(а):

Прочитайте здесь

Спасибо, Ms-dos4.

-- 09.12.2013, 07:05 --

ewert в сообщении #797944 писал(а):

А почему минимальное? Раз так, то почему не среднее какое-нибудь, в конце концов?...

Вот именно)

[ewert]

Только имейте в виду, что они там рассматривают метод итераций лишь применительно к диагонализуемой матрице. Т.е. для недиагонализуемой он, в принципе, тоже сходится; но, во-первых, это уже сложнее, а во-вторых, сходится лишь теорекхьтицски, пракхьтицскхи же (для нехороших старших с.ч.) -- безумно медленно, так что можно сказать, что и не сходится.

[Евгений Машеров]

Ну, с точки зрения практического вычисления спасает то, что малое возмущение переводит недиагонализируемую матрицу в диагонализируемую, и роль такого возмущения любезно берут на себя ошибки округления. Хуже, если старшее с.з. комплексное или если оно кратное. Простая итерация без дополнительных приёмов может не сходиться.

[Boss03]

Советую ознакомиться с замечательной книгой Дж. Х. Уилкинсона "Алгебраическая проблема собственных значений".