Линии уровня

[Sasha018]

Помогите разобраться! Как такую линию уровня построить: $ u(x,y)=x^2 -xy +y^2$ при $C=0$. Что она из себя представляет? В данном случае никак не удается преобразовать к уравнению окружности. Т.е. $ u(x,y)=C=const =>x^2 -xy +y^2=0$

[SpBTimes]

Ну поворот осей сделайте.

[Sasha018]

В смысле?К полярным координатам перейти?

[SpBTimes]

Ну чтобы построить эту кривую, надо ее уравнение привести к каноническому виду. Умеете это делать?

[Sasha018]

Не совсем, умею только приводить к стандартным уравнениям, типа уравнения окружности, но здесь оно не получается. Как это сделать?

[Nemiroff]

$x^2 -xy +y^2=0$ — это же одна точка.

-- Вс дек 08, 2013 15:57:42 --

Sasha018 в сообщении #797714 писал(а):

Как это сделать?

Если вы хотите понять, что за кривая описывается $x^2 -xy +y^2=C$, поверните оси координат на $\frac{\pi}{4}$, к примеру.

[Sasha018]

Хорошо,спасибо. В итоге получаем, что $1/2x^2+3/2y^2=0$, $x,y$-новые координаты. Это уравнение эллипса же

[Nemiroff]

Sasha018 в сообщении #797734 писал(а):

Это уравнение эллипса же

Это точка.

[SpBTimes]

Sasha018
У эллипса есть некие отличия от данного уравнения

[Sasha018]

Ой пардон, поспешила. Единицу проглядела. $x^2+3y^2=0, x=y=0$ Так по идее?

[Someone]

Ну, раз уж вопрос решили…
$x^2-xy+y^2=x^2-2x\cdot\frac y2+\frac{y^2}4+\frac{3y^2}4=\left(x-\frac y2\right)^2+\frac{3y^2}4>0$ всюду, кроме начала координат.

[Sasha018]

Someone,спасибо. А если бы $C>0$ было бы, то всё в эллипс бы превратилось при фиксированном $C$?

[Sasha018]

Можете,пожалуйста. найти ошибку. Пусть $C=6$ , тогда $(x_1)^2-xy+(y_1)^2=36, x_1=x/sqrt(2) -y/sqrt(2) , y_1=x/sqrt(2) +y/sqrt(2)$. Подставляя в исходное уравнение: $1/2(x^2-2xy+y^2)-1/2(x-y)(x+y)+1/2(x^2+2xy+y^2)=36; x^2+3y^2=72$ . Но точка $(0;6)$ удовлетворяет начальному уравнению, а данному нет

[Nemiroff]

Вы поворот координат просто так делали что ли?

[Sasha018]

Нет, сначала угол поворота по формулам , он оказался равен $pi/4 or -pi/4$.