2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти предел суммы
Сообщение07.12.2013, 18:36 
Аватара пользователя
$\lim_{n \to  \infty} (\frac{ 1 }{ 3 } + \frac{ 2 }{3 ^{2}} + ... + \frac{ n }{ 3^{n}  })  $
Забил все это дело в Wolfram Alpha, получил следующее:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... -%3Einf%5D
Во-первых, искомый предел равен $\frac{ 3 }{ 4 }$. Во-вторых, там дана зависимость этой суммы от n, как получить которую я не знаю. Возможно, для нахождения искомого предела, надо "зажать" эту сумму, но это я пока не придумал, как сделать. Это задача из ЗФТШ, со звездочкой, решить надо по возможности "человеческими" способами.

 
 
 
 Re: Найти предел суммы
Сообщение07.12.2013, 18:43 
Аватара пользователя
Такие штуки без знания рядов и дифференцирования/интегрирования решаются довольно нудно через разложение их в несколько прогрессий. А если знаете начала матанализа, то эта задача очень проста.

 
 
 
 Re: Найти предел суммы
Сообщение07.12.2013, 18:45 
Аватара пользователя
Простейший способ - через степенной ряд. Еще два.
1. Вывести рекуррентную формулу. Умножить на 3 и свести к предыдущему члену.
2. Разбить слагаемое $\frac{n}{3^n}$ как $n$ слагаемых вида $\frac1n$

 
 
 
 Re: Найти предел суммы
Сообщение07.12.2013, 18:47 
provincialka в сообщении #797406 писал(а):
Разбить слагаемое $\frac{n}{3^n}$ как $n$ слагаемых вида $\frac1n$

как $n$ слагаемых вида $\frac{1}{3^n}$, конечно же.

 
 
 
 Re: Найти предел суммы
Сообщение07.12.2013, 19:33 
Аватара пользователя
Давным-давно я тут подобную задачу решил возведением геометрической прогрессии в квадрат :-(
Но было сказано, что стандартным способом является-таки дифференцирование.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group