Идеал

[Ward]

Здравствуйте!

Пусть $A$ -- коммутативное кольцо с единицей, $I,J\subset A$ -- произвольные идеалы. Верно ли, что произведения $ab$ с $a\in I, b\in J$ образуют идеал?

Моя попытка решения: Обозначим наше множество через $K$, т.е. $K=\{ab| a\in I, b\in J\}$. Пусть $c\in K$. Тогда $c=ab$ и пусть $c\mid d.$ Покажем, что $d\in K$. Раз $ab\mid d$, то $d=(ab)f$. Значит, $d=a(bf)$ и так как $a\in I$ и $bf\in J$, то $d\in K$.
Нетрудно понять, что если $x,y\in K$, то $xy\in K$.
А как доказать, что $x+y\in K?$
Помогите пожалуйста. Или это неверно и есть какой-то контрпример?

[patzer2097]

Вы совершенно верно заметили, что множество $K$ будет идеалом всегда, когда оно будет подкольцом. А подкольцом оно, вообще говоря, не будет. Предлагаю Вам рассмотреть два случая:

1. Один из идеалов $I$ и $J$ - главный (т.е., порожден одним элементом). Тогда $K$ будет подкольцом (и, значит, идеалом).

2. Чтобы привести контрпример, вспомните какой-нибудь несложный пример кольца, не являющегося кольцом главных идеалов. И постройте какие-нибудь два неглавных идеала в нем.

UPD: Я все это писал, конечно, в предположении, что Ваше кольцо ассоциативно, - хотя Вы этого и не написали в явном виде.

[nnosipov]

Ward в сообщении #797399 писал(а):

Пусть $A$ -- коммутативное кольцо с единицей, $I,J\subset A$ -- произвольные идеалы. Верно ли, что произведения $ab$ с $a\in I, b\in J$ образуют идеал?

Нет, это неверно. В качестве $A$ можно рассмотреть кольцо $\mathbb{Z}[x]$, в котором взять $I=J=(2,x)$.

[Ward]

nnosipov
А почему тогда произведение $2a_1+xb_1$ на $2a_2+xb_2,$ где $a_1, a_2, b_1, b_2\in \mathbb{Z}[x]$ не будет идеалом? Их произведение получается ведь $4a_1a_2+2a_1b_2x+2a_2b_1x+b_1b_2x^2$

[patzer2097]

Ward в сообщении #797469 писал(а):

А почему тогда произведение $2a_1+xb_1$ на $2a_2+xb_2,$ где $a_1, a_2, b_1, b_2\in \mathbb{Z}[x]$ не будет идеалом?

Идеалами являются подмножества, а не произведения. Вам нужно показать, что сумма вида $a_1 b_1+a_2 b_2$ не всегда представляется в виде $ab$ для некоторых $a$ и $b$ (здесь всюду $a_1, a_2, a\in I$ и $b_1,b_2,b\in J$).

[Ward]

Но ведь тут рассматриваются произведения. Поэтому я их рассматриваю.
Или я чего-то не понимаю?

[patzer2097]

У Вас вопрос:

Ward в сообщении #797399 писал(а):

Верно ли, что произведения $ab$ с $a\in I, b\in J$ образуют идеал?

Иными словами, является ли множество всех произведений вида $a b$ идеалом или нет? Вам предлагается доказать, что оно даже не всегда является подкольцом: то есть, что суммируя какие-то произведения такого вида, мы получим что-то, что таким произведением не является

[Ward]

Спасибо! Благодаря Вам стало немного понятней.
А как дальше делать?

[patzer2097]

Ward в сообщении #797543 писал(а):

А как дальше делать?

nnosipov предложил Вам рассмотреть в качестве идеалов $I$ и $J$ идеал $\langle2,x\rangle\subset\mathbb{Z}[x]$. Вам нужно придумать такие элементы $a_i\in I(=J)$, для которых сумма $a_1a_2+a_3a_4$ не представляется в виде $a_5 a_6$ ни для каких $a_5,a_6\in I$.