Представления конечных групп

[nad_algebra]

Пусть A и В — два перестановочных оператора на конечномерном векторном пространстве V над С и $A^m = B^n =E$ для некоторых натуральных чисел m и n. Доказать, что пространство V распадается в прямую сумму одномерных инвариантных
относительно A и В подпространств.

Моя попытка начать доказательство
Поскольку матрица оператора А нильпотентна, то можна показать, что её минимальниый многочлен имеет на С m разных корней – равных m-м корням с 1. А значит матрица оператора А диагонализирована, а значит V распадается в прямую сумму одномерных инвариантных относительно A подпространств. Аналогично показываем, что V распадается в прямую сумму одномерных инвариантных относительно В подпространств.
Можна также показать, что из перестановочности операторов А и В следует существование общего собственного ветора.
Но как показать, что V распадается в прямую сумму одномерных инвариантных
относительно A и В подпространств?

[patzer2097]

nad_algebra в сообщении #797157 писал(а):

Пусть A и В — два перестановочных оператора на конечномерном векторном пространстве V над С и $A^m = B^n =E$ для некоторых натуральных чисел m и n. Доказать, что пространство V распадается в прямую сумму одномерных инвариантных относительно A и В подпространств.[/b]

Заметьте, что Ваши матрицы $A$ и $B$ диагонализуемы (это следствие ЖНФ). Теперь нужно по сути доказать, что коммутирующие диагонализуемые матрицы могут быть приведены к диагональным в одном и том же базисе, - а это довольно известный факт, доказательство можно прочитать, например, здесь http://math.stackexchange.com/questions ... genvectors

(Оффтоп)

nad_algebra в сообщении #797157 писал(а):

Поскольку матрица оператора А нильпотентна, то можна показать, что её минимальниый многочлен имеет на С m разных корней

Видимо, тут Вы написали не то, что имели в виду, - во всяком случае, непонятно абсолютно ничего.