2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Деление на ноль
Сообщение06.12.2013, 19:57 


06/12/13
5
Я знаю, что на ноль делить нельзя. Но в голове не решается этот вопрос:
Скажем число $N;
Если $N > 1$, то $\frac{1}{N} < 1$

Но если $N < 1; N \neq 0 $, то $\frac{1}{N} > 1$

Чем ближе на ноль, тем выше результат.

Значит, $\frac{1}{0} = \infty$.
Даже по тригонометрии, тангенс должен возвращать бесконечность, когда $\alpha = 0$

Итак, вопрос?

Делить на ноль действительна нельзя или из-за неопределённости числа мы игнорируем это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль
Сообщение06.12.2013, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Для того, чтобы ответить на этот вопрос, надо вспомнить, а что же такое деление.

Вот даны нам два числа $a$ и $b$. Что такое $a/b$ по определению, помните?

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль
Сообщение06.12.2013, 20:06 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
grim2d в сообщении #797055 писал(а):
$\frac{1}{0} = \infty$.
Бесконечность - это не число, так что эта запись не имеет смысла. Какой-то смысл можно придать если рассматривать не числа, а пределы (последовательности, функции), в этом случае есть смысл и у бесконечности, и у деления на ноль, но не забывайте, что этот ноль - не число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль
Сообщение06.12.2013, 20:13 


06/12/13
5
Деление — это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль
Сообщение06.12.2013, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
grim2d в сообщении #797066 писал(а):
Деление — это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое.
Верно.
То есть, $1/0$ - это такое число $x$, для которого $0\cdot x = 1$. Дальше понятно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль
Сообщение06.12.2013, 20:15 


06/12/13
5
Цитата:
Верно.
То есть, $1/0$ - это такое число $x$, для которого $0\cdot x = 1$. Дальше понятно?

Понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль
Сообщение06.12.2013, 20:49 


06/11/13
16
Цитата:
Если $N > 1$, то $\frac{1}{N} < 1$

Но если $N < 1; N \neq 0 $, то $\frac{1}{N} > 1$

Чем ближе на ноль, тем выше результат.

Это верно, но если в этих рассуждениях заменить $1$ на $-1$, то получится, что чем ближе $N$ к нулю, тем меньше результат. Не может же $\frac{1}{0}$ равняться и $\infty$, и $-\infty$ одновременно.

Кстати, а почему нельзя придумать определение для деления на ноль? В комплексных числах имеет смысл операция извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Почему нельзя что-то подобное придумать и для деления на ноль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль
Сообщение06.12.2013, 21:04 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
391q
Если требовать, чтобы деление было обратным действием к умножению, то придется уметь решать $0\cdot x=1$. Однако ноль и один — очень особые элементы. Ноль — нейтральный элемент сложения. Один — нейтральный элемент умножения. Сложение и умножение связаны дистрибутивным законом, который, собственно, и дает все интересные свойства... а его немедленным следствием является тождество $0\cdot x = 0$.

Отказывайтесь от дистрибутивности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль
Сообщение06.12.2013, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
391q в сообщении #797079 писал(а):
Кстати, а почему нельзя придумать определение для деления на ноль? В комплексных числах имеет смысл операция извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Почему нельзя что-то подобное придумать и для деления на ноль?
Потому что, как написано выше, для того, чтобы определить $1/0$ придется отказаться от свойства $0\cdot x = 0$. В принципе, можно захотеть от него отказаться. Но оно следует из следующих вещей: $0 + x = x$ (определение нуля), $0\neq 1$ (без этого вообще становится все равно, в смысле $\forall x y ( x = y )$), $(a + b)c = ac + bc$, $a + c = b + c\Rightarrow a = b$. То есть придется отказаться от одного из двух последних. Все это становится очень неудобно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль
Сообщение06.12.2013, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Не может же $\frac{1}{0}$ равняться и $\infty$, и $-\infty$ одновременно.

Может. В математике вводятся разные "бесконечности". Есть два подхода: добавляем к числовой прямой одну бесконечность, $\infty$, у нее нет знака, как и у нуля. Или две бесконечности, $+\infty$ и $-\infty$. Можно считать, что $+\infty$ получается делением на $+0$. Конечно, надо понимать это как высказывание о пределах.
Аналогично, если величина стремится к 0, оставаясь отрицательной, то обратная к ней стремится к $-\infty$. Но можно сказать, что она и бесконечна большая, стремится к просто бесконечности.

Символы $\infty$ и $+\infty$ не совпадают по смыслу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль
Сообщение06.12.2013, 23:28 
Аватара пользователя


25/02/10
687
provincialka в сообщении #797100 писал(а):
Конечно, надо понимать это как высказывание о пределах.
В том-то и дело - все эти плюсики-минусики имеют отношение только к поведению последовательности или функции. Если же говорить о компактификации множества действительных чисел, то это достигается добавлением одной точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль
Сообщение06.12.2013, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Чего так? Почему нельзя две бесконечности добавить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль
Сообщение06.12.2013, 23:33 
Аватара пользователя


26/11/13
87
Ну и ещё добавлю, что если можем делить на ноль, то можно получить странные вещи.
К примеру пусть $a\neq b$
Но с другой стороны $a\cdot0 = b\cdot0 = 0$.
Сокращаем на ноль и получаем противоречие.
Хотя по сравнению с приведёнными аргументами это школьный уровень :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль
Сообщение06.12.2013, 23:39 
Аватара пользователя


25/02/10
687
Я не сказал "нельзя", просто $\mathbb{R}$ компактифицируется добавлением одной точки $\infty$ и полученное пространство имеет хорошие свойства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль
Сообщение06.12.2013, 23:53 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Но множество, получаемое добавлением к $\mathbb{R}$ элементов $-\infty$ и $+\infty$, тоже обладает хорошими свойствами ;-) Всё зависит от потребностей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group