задача по теории вероятностей

[alex142]

здравствуйте! помогите пожалуйста решить задачу даже не лезит в голову как ее можно решить! спасибо!

задача:
в мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. наудачу извлекают по одному 3 кубика. найти вероятность того, что после довательно появятся кубики с номерами 1,2,3, если кубики извлекаются
1) без возвращения
2) с возвращением

спасибо огромное за оказаную помощь!

[Someone]

Знаете ли Вы классическое определение вероятности?

А какая будет вероятность того, что первый взятый кубик будет иметь номер 1?

Предположим, что первый взятый кубик действительно имеет номер 1. Какова вероятность того, что второй взятый кубик будет иметь номер 2 (в первом случае и во втором)?

[PAV]

Отделено в самостоятельную тему

[Nova]

Добрый день!

Someone писал(а):

А какая будет вероятность того, что первый взятый кубик будет иметь номер 1? 1/10

Предположим, что первый взятый кубик действительно имеет номер 1. Какова вероятность того, что второй взятый кубик будет иметь номер 2 (в первом случае и во втором)?

в первом случае (без возвращения) - 1/9, во втором случае (с возвращением) - 1/10
Я не знаю, как отразить слово "последовательно" в решении задачи.

[Someone]

Nova писал(а):

Я не знаю, как отразить слово "последовательно" в решении задачи.

Это означает, что берут не три кубика сразу, а сначала первый, потом - второй, потом - третий.

Обозначим события

$$A_k=\{k\text{-тый взятый кубик имеет номер }k\}\text{,}$$

где $k=1,2,3$.
Для решения задачи используется формула вероятности произведения событий:

$$P(A_1A_2A_3\ldots A_{n-1}A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)P_{A_1A_2}(A_3)\ldots P_{A_1A_2A_3\ldots A_{n-1}}(A_n)\text{.}$$

Поэтому Вам нужно последовательно вычислить вероятности $P(A_1)$, $P_{A_1}(A_2)$, $P_{A_1A_2}(A_3)$.

[Nova]

Someone писал(а):

Поэтому Вам нужно последовательно вычислить вероятности $P(A_1)$, $P_{A_1}(A_2)$, $P_{A_1A_2}(A_3)$.

Тогда, если я Вас правильно понимаю, у меня получается так:

1) Первый вариант - без возвращения
Вероятность того, что из 10 кубиков последовательно появятся кубики с номерами 1,2,3 =
(вероятность, что 1 кубик имеет номер 1)*(вер-сть, что первый выбранный кубик не имеет номер 2 И 2 выбранный кубик имеет номер 2)*(вер-сть, что первый выбранный кубик не имеет номер 3 И второй не имеет номер 3 И третий имеет номер 3)=1/10*(9/10*1/9)*(9/10*8/9*1/8)
Правильно?

[PAV]

Нет. Нужно записать так: (вероятность того, что первый кубик имеет номер 1)*(вероятность того, что второй кубик имеет номер 2 при условии того, что первый имеет номер 1)*(третий имеет номер 3 при условии того, что первый имеет номер 1 и второй имеет номер 2)

Обратите внимание, что при условии не то же самое, что одновременно. Первое есть условная вероятность, а второе - пересечение.

Математически условие того, что первый имел номер 1, означает лишь, что во второй раз у нас остается только 9 кубиков всего, причем ровно один нам подходит.

Эта вероятность равна $\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{8}$

[Nova]

PAV писал(а):

Нет. Нужно записать так: (вероятность того, что первый кубик имеет номер 1)*(вероятность того, что второй кубик имеет номер 2 при условии того, что первый имеет номер 1)*(третий имеет номер 3 при условии того, что первый имеет номер 1 и второй имеет номер 2)

Обратите внимание, что при условии не то же самое, что одновременно. Первое есть условная вероятность, а второе - пересечение.

Математически условие того, что первый имел номер 1, означает лишь, что во второй раз у нас остается только 9 кубиков всего, причем ровно один нам подходит.

Эта вероятность равна $\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{8}$

Ок, спасибо. Этот вариант мне поначалу показался слишком простым
Тогда у меня возникает вопрос.
Есть ли разница между этой задачей и привдённой ниже? Если она есть, то как её почувствовать?

В клубе 10 членов, включая Фёдора. Один из 10 членов должен быть выбран президентом, один из оставшихся 9 членов должен быть выбран секретарём, один из оставшихся 8 членов должен быть выбран казначеем. Какова вероятность того, что Фёдор будет выбран или секретарём или казначеем?
Если решать эту задачу, как предыдущую, то получится
Р=1/10+1/10=1/5
Второй вариант решения:
(Вероятность не стать президентом * вероятность стать секретарём) + (вер-сть не стать президентом*вер-сть не стать секретарём*вер-сть стать казначеем)
= 9/10*1/9 + 9/10*8/9*1/8 = 1/5

Какой вариант правильный? Или оба?

[PAV]

Ответ правильный, вывод я бы написал проще. Про президента можно забыть, он на задачу не влияет. Считайте, что выбирают сначала казначея, а потом секретаря. Вот здесь формула будет такая:

$\frac{1}{10}+\frac{9}{10}\cdot\frac{1}{9}$

Ее можно вывести по формуле полной вероятности. А можно посчитать вероятность противоположного события (не стать ни секретарем, ни казначеем), должен получиться тот же ответ, рекомендую посчитать.

[Nova]

Спасибо!