Решение краевой задачи

[kutrecht]

Добрый день. Допустим нам дана какая-нибудь краевая задача вида (скажем)

$$ \begin{cases} u^{(4)}+u^3=f,\\ \text{граничные условия на}\ u,u' \end{cases} $$

на отрезке $[0,1]$, где $f$ - некоторая заданная функция. Если пытаться решать, аппроксимируя производную разделенной разность, получается уравнение третьей степени, которое непонятно как решать (если бы получались линейны уравнения, было бы просто, т.к. решаем систему линейных уравнений, чтобы удовлетворялись граничные условия).
Какие методы можно использовать для решения данной задачи? Ссылка к какой-либо доступной литературе была бы замечательной!

[sup]

Можно попробовать вариационный подход. Пусть гран. условия это просто $u=u'=0$ на границе. Тогда можно заняться минимизацией функционала
$Ju = \int \limits_0^1 (\frac {u''^2}{2} + \frac {u^4}{4} - fu)dt$
в классе гладких функций с теми самыми гран. условиями.
Для "малой" правой части можно попробовать и метод последовательных приближений. Но для него надо еще выяснить, когда там образуется сжатие.

[kutrecht]

sup в сообщении #796623 писал(а):

Можно попробовать вариационный подход. Пусть гран. условия это просто $u=u'=0$ на границе. Тогда можно заняться минимизацией функционала
$Ju = \int \limits_0^1 (\frac {u''^2}{2} + \frac {u^4}{4} - fu)dt$
в классе гладких функций с теми самыми гран. условиями.
Для "малой" правой части можно попробовать и метод последовательных приближений. Но для него надо еще выяснить, когда там образуется сжатие.

Вычитая некоторую функцию из искомого решения $u$ всегда же можно свести задачу, у которой граничные условия $u=u'=0$. У меня вопрос: почему именно можно брать функционал $Ju = \int \limits_0^1 (\frac {u''^2}{2} + \frac {u^4}{4} - fu)dt$, т.е. откуда он возник?

[sup]

kutrecht в сообщении #797523 писал(а):

Вычитая некоторую функцию из искомого решения $u$ всегда же можно свести задачу, у которой граничные условия $u=u'=0$. У меня вопрос: почему именно можно брать функционал $Ju = \int \limits_0^1 (\frac {u''^2}{2} + \frac {u^4}{4} - fu)dt$, т.е. откуда он возник?

Ну, положим, если на краю заданы условия на вторые и третьи производные, то никаким вычитанием их к условиям на функцию и ее первую производную не свести. Это так, к слову.
Что касается функционала, то он подобран так, чтобы после варьирования получилось нужное нам уравнение.
Неловко спрашивать, но Вы в курсе, что такое вариация функционала?
Если да, то вот Вам и ответ на Ваш вопрос - откуда такой функционал взялся.
Если нет, то надо бы Вам прежде всего взглянуть на начала вариационного исчисления. Иначе эти разговоры о минимизации функционалов будут Вам непонятными.
Вернемся к неоднородным гран. условиям. Действительно, вычитанием некой функции, гран. условия можно обнулить. При этом, для линейных уравнений изменилась бы только правая часть. А вот в нашем нелинейном случае изменится и само уравнение. После этого надо будет заново подобрать функционал для минимизации. В принципе это не трудно.
Но проще не возиться с этими вычитаниями и преобразованиями, а искать минимум в классе функций с заданными (а не однородными) гран. условиями.