периодичность функции

[newnewnewmath]

подскажите, как доказать в общем случае, что функция непериодична? Допустим, можно взять $x=0$, получить уравнение для $T$, затем взять $x=T$, и получить еще одно уравнение для $T$. А затем, приравняв, если $T=0$ - единственный корень, то функция не является периодической, так?
Вот еще - если мы можем найти $T$ из этих двух уравнений, то все положительные и не равные нулю $T$ будут потенциальными периодами функции? Т. е. чтобы доказать, что функция не периодическая, нам надо доказать, что отношения их представляют нецелые числа?

[SteelRend]

(Оффтоп)

написал тут по ошибке

[iifat]

В принципе, можно и так. Вот, например, для $y=x$ достаточно взять $x=0$, чтобы получить $T=0$. Возможно, есть функции, где понадобится именно две точки. Ах да, парабола. Возможно, есть такие, где придётся рассматривать три или больше, хотя примеров не приведу. Можно попробовать решить сразу $f(x+T)=f(x)$, выразить $T=T(x)$ и доказать, что это не константа. В общем, способов есть.

[newnewnewmath]

просто я сделал так, и выяснилось(для уравнения третьей степени), что помимо $T=0$, который встретился дважды, есть еще и некоторый $T<0$. Т.е. если при решении ни один $T$ не может быть периодом по определению, то функция непериодическая?
А то, что я написал во втором абзаце - верно?

-- 03.12.2013, 00:28 --

насчет константы - я читал насчет этого, но смутился - ведь константа - тот же параметр в уравнении с параметром, который тоже казалось бы, выражается через $x$, но однако же не зависит от него.

[arseniiv]

newnewnewmath в сообщении #795615 писал(а):

есть еще и некоторый $T<0$

Который после смены иксов местами превращается в $T>0$, так что отрицательность ни о чём не говорит сама по себе.

[newnewnewmath]

можете пояснить, какие иксы меняются местами? И как тогда делать?

[arseniiv]

А как вы находили?

-- Вт дек 03, 2013 15:46:09 --

Если вашим методом проверить периодичность сразу всех функций $f,\; f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$, то получится $f(0)=f(T) \Leftrightarrow T(aT^2 + bT + c) = 0$, что не всегда имеет два нулевых корня и отрицательный. Может быть по-всякому. При этом надо иметь в виду, что в частном случае $a=b=c=0$ эта функция (получается константа) периодична, но не имеет минимального периода.

-- Вт дек 03, 2013 15:48:45 --

Всё же лучше находить корни $f(x) = f(x+T)$, не зависящие от $x$ и не равные нулю.

[newnewnewmath]

а ведь и правда, не подумал.
А какие корни "не зависящие от $x$ и не равные нулю" имеются в виду? $T$, так?
А вот еще можно ли так - если не при всех $x$ выполняется $f(x) = f(x+T)$, то функция не периодическая?

[provincialka]

А что такое $T$ в последнем равенстве?

[newnewnewmath]

$T$ - период функции, если таковой существует

[provincialka]

Ну, дык! Вы же его еще не знаете? Более того, подозреваете, что его нет? Как же вы несуществующее $T$ в уравнение будете подставлять?

Подсказка: в логике есть такие кванторы, $\forall,\exists$. Знаете их?

[newnewnewmath]

функция-то определена в точке $x=T$...
а значит, можем определить значения функции при некотором $T$

ну, про кванторы знаю, а что?

[svv]

Берем функцию $f(x)=\sin x$. Хотим узнать, периодическая она или нет.
Если это неизвестно, т.е. неизвестно, есть ли период вообще, — то нет смысла говорить, чему равен период.

Но мне всё равно. Я беру некоторое $T$, например $T=\frac\pi 2$. Беру $x=0$. Подставляю в равенство и вижу:
$f(x)=\sin x=\sin 0=0$
$f(x+T)=\sin(x+T)=\sin (0+\frac \pi 2)=1$
Блин. Не равны.

Вывод? Синус — функция непериодическая?

[provincialka]

newnewnewmath в сообщении #795993 писал(а):

функция-то определена в точке $x=T$...

Хм. Ну, если функция определена всюду на прямой, вроде, она должны быть определена и в точке $T$. А что, если такого $T$ не существует? Определена "в нем" наша функция?

[newnewnewmath]

функция определена везде, значит, и в точке $x=T$ тоже. Другое дело, подходит ли это $T$ в качестве значения периода.
Вот, например для функций, содержащих $x$ в натуральных степенях, допустим таких, как $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ведь можно сказать, что они вообще пересекают ось $x$ определённое число раз, т.е. имеют "небесконечное" число корней, и значит, они непериодические. А верно ли это, если подобные функции имеют лишь комплексные корни?

-- 05.12.2013, 12:55 --

svv в сообщении #796013 писал(а):

Берем функцию $f(x)=\sin x$. Хотим узнать, периодическая она или нет.
Если это неизвестно, т.е. неизвестно, есть ли период вообще, — то нет смысла говорить, чему равен период.

Но мне всё равно. Я беру некоторое $T$, например $T=\frac\pi 2$. Беру $x=0$. Подставляю в равенство и вижу:
$f(x)=\sin x=\sin 0=0$
$f(x+T)=\sin(x+T)=\sin (0+\frac \pi 2)=1$
Блин. Не равны.

Вывод? Синус — функция непериодическая?

а зачем брать конкретное $T$? Ведь неизвестно, действительно ли $T=\pi/2$ является периодом. Потому и значения могут быть не равны.
$f(x)=\sin x
$f(0) = \sin 0 = 0$
$f(0 + T) = \sin(0 + T) = \sin 0 \cos T + \sin T \cos 0 = f(0) = 0$
И нам нужно такое $T$, при котором при всех $x$ равенство выполняется, так?