2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 периодичность функции
Сообщение02.12.2013, 21:45 


02/12/13
11
подскажите, как доказать в общем случае, что функция непериодична? Допустим, можно взять $x=0$, получить уравнение для $T$, затем взять $x=T$, и получить еще одно уравнение для $T$. А затем, приравняв, если $T=0$ - единственный корень, то функция не является периодической, так?
Вот еще - если мы можем найти $T$ из этих двух уравнений, то все положительные и не равные нулю $T$ будут потенциальными периодами функции? Т. е. чтобы доказать, что функция не периодическая, нам надо доказать, что отношения их представляют нецелые числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: периодичность функции
Сообщение02.12.2013, 22:39 


12/11/11
88

(Оффтоп)

написал тут по ошибке

 Профиль  
                  
 
 Re: периодичность функции
Сообщение02.12.2013, 23:21 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
В принципе, можно и так. Вот, например, для $y=x$ достаточно взять $x=0$, чтобы получить $T=0$. Возможно, есть функции, где понадобится именно две точки. Ах да, парабола. Возможно, есть такие, где придётся рассматривать три или больше, хотя примеров не приведу. Можно попробовать решить сразу $f(x+T)=f(x)$, выразить $T=T(x)$ и доказать, что это не константа. В общем, способов есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: периодичность функции
Сообщение02.12.2013, 23:25 


02/12/13
11
просто я сделал так, и выяснилось(для уравнения третьей степени), что помимо $T=0$, который встретился дважды, есть еще и некоторый $T<0$. Т.е. если при решении ни один $T$ не может быть периодом по определению, то функция непериодическая?
А то, что я написал во втором абзаце - верно?

-- 03.12.2013, 00:28 --

насчет константы - я читал насчет этого, но смутился - ведь константа - тот же параметр в уравнении с параметром, который тоже казалось бы, выражается через $x$, но однако же не зависит от него.

 Профиль  
                  
 
 Re: периодичность функции
Сообщение03.12.2013, 00:14 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
newnewnewmath в сообщении #795615 писал(а):
есть еще и некоторый $T<0$
Который после смены иксов местами превращается в $T>0$, так что отрицательность ни о чём не говорит сама по себе.

 Профиль  
                  
 
 Re: периодичность функции
Сообщение03.12.2013, 07:41 


02/12/13
11
можете пояснить, какие иксы меняются местами? И как тогда делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: периодичность функции
Сообщение03.12.2013, 12:38 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А как вы находили?

-- Вт дек 03, 2013 15:46:09 --

Если вашим методом проверить периодичность сразу всех функций $f,\; f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$, то получится $f(0)=f(T) \Leftrightarrow T(aT^2 + bT + c) = 0$, что не всегда имеет два нулевых корня и отрицательный. Может быть по-всякому. При этом надо иметь в виду, что в частном случае $a=b=c=0$ эта функция (получается константа) периодична, но не имеет минимального периода.

-- Вт дек 03, 2013 15:48:45 --

Всё же лучше находить корни $f(x) = f(x+T)$, не зависящие от $x$ и не равные нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: периодичность функции
Сообщение03.12.2013, 18:30 


02/12/13
11
а ведь и правда, не подумал.
А какие корни "не зависящие от $x$ и не равные нулю" имеются в виду? $T$, так?
А вот еще можно ли так - если не при всех $x$ выполняется $f(x) = f(x+T)$, то функция не периодическая?

 Профиль  
                  
 
 Re: периодичность функции
Сообщение03.12.2013, 18:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А что такое $T$ в последнем равенстве?

 Профиль  
                  
 
 Re: периодичность функции
Сообщение03.12.2013, 19:34 


02/12/13
11
$T$ - период функции, если таковой существует

 Профиль  
                  
 
 Re: периодичность функции
Сообщение03.12.2013, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну, дык! Вы же его еще не знаете? Более того, подозреваете, что его нет? Как же вы несуществующее $T$ в уравнение будете подставлять?

Подсказка: в логике есть такие кванторы, $\forall,\exists$. Знаете их?

 Профиль  
                  
 
 Re: периодичность функции
Сообщение03.12.2013, 22:36 


02/12/13
11
функция-то определена в точке $x=T$...
а значит, можем определить значения функции при некотором $T$

ну, про кванторы знаю, а что?

 Профиль  
                  
 
 Re: периодичность функции
Сообщение03.12.2013, 23:16 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Берем функцию $f(x)=\sin x$. Хотим узнать, периодическая она или нет.
Если это неизвестно, т.е. неизвестно, есть ли период вообще, — то нет смысла говорить, чему равен период.

Но мне всё равно. Я беру некоторое $T$, например $T=\frac\pi 2$. Беру $x=0$. Подставляю в равенство и вижу:
$f(x)=\sin x=\sin 0=0$
$f(x+T)=\sin(x+T)=\sin (0+\frac \pi 2)=1$
Блин. Не равны.

Вывод? Синус — функция непериодическая?

 Профиль  
                  
 
 Re: периодичность функции
Сообщение04.12.2013, 01:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
newnewnewmath в сообщении #795993 писал(а):
функция-то определена в точке $x=T$...

Хм. Ну, если функция определена всюду на прямой, вроде, она должны быть определена и в точке $T$. А что, если такого $T$ не существует? Определена "в нем" наша функция?

 Профиль  
                  
 
 Re: периодичность функции
Сообщение05.12.2013, 11:50 


02/12/13
11
функция определена везде, значит, и в точке $x=T$ тоже. Другое дело, подходит ли это $T$ в качестве значения периода.
Вот, например для функций, содержащих $x$ в натуральных степенях, допустим таких, как $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ведь можно сказать, что они вообще пересекают ось $x$ определённое число раз, т.е. имеют "небесконечное" число корней, и значит, они непериодические. А верно ли это, если подобные функции имеют лишь комплексные корни?

-- 05.12.2013, 12:55 --

svv в сообщении #796013 писал(а):
Берем функцию $f(x)=\sin x$. Хотим узнать, периодическая она или нет.
Если это неизвестно, т.е. неизвестно, есть ли период вообще, — то нет смысла говорить, чему равен период.

Но мне всё равно. Я беру некоторое $T$, например $T=\frac\pi 2$. Беру $x=0$. Подставляю в равенство и вижу:
$f(x)=\sin x=\sin 0=0$
$f(x+T)=\sin(x+T)=\sin (0+\frac \pi 2)=1$
Блин. Не равны.

Вывод? Синус — функция непериодическая?

а зачем брать конкретное $T$? Ведь неизвестно, действительно ли $T=\pi/2$ является периодом. Потому и значения могут быть не равны.
$f(x)=\sin x
$f(0) =  \sin 0 = 0$
$f(0 + T) = \sin(0 + T) = \sin 0 \cos T + \sin T \cos 0 = f(0) = 0$
И нам нужно такое $T$, при котором при всех $x$ равенство выполняется, так?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group