2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Две задачи по аналитической геометрии
Сообщение28.05.2007, 15:38 


24/05/07
10
Первая:
В евклидовом пространстве найти расстояние от точки \[a = (5,1,4,7)\] до плоскости P:
\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {2x_1  - 4x_2  - 8x_3  + 13x_4  =  - 19}  \\
   {x_1  + x_2  - x_3  + 2x_4  = 1}  \\
\end{array}} \right.
\]
Путь решения:
1) Найти три точки не лежащие на одной прямой и принадлежащие плоскости
2) Образовать из этих точек два вектора
3) Взять точку на плоскости \[u = (u_1,u_2,u_3,u_4)\] и получить вектор \[au\]
4) Решить систему уравнений: скалярное произведение вектора на вектор в плоскости =0 (2 уравнения), точка \[u = (u_1,u_2,u_3,u_4)\] принадлежит плоскости (2 уравнения) (т.е. получим систему из 4 уравнений с 4 неизвестными)
Но преподавтельпредложил парметризовать тем самым получить систему из 2-ух уравнений с двумя неизвестными, а я не понял как это сделать :(

Вторая задача:
Существует ли аффинное преобразование, переводящее точки \[p_1  = (1,2)\] и \[p_2  = (1,3)\] соответственно в точки \[q_1  = (4,5)\] и \[q_2  = (4,6)\] , а прямую \[(2,3)+(1,0)t\] - в прямую \[(3,4)+(1,2)t\] ?
Сначало я параметризую точки, т.е. выберу точку \[p_1  = (1,2)\] и относительно ее \[p_2  = (1,3)\] будет представлять собой вектро \[p_1p_2  = (0,1)\] и т.д. \[(4,5),(4,6),(2,3),(3,4)\] Далее я не совсем понимаю что делать :(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2007, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
pavelnix писал(а):
Но преподавтельпредложил парметризовать тем самым получить систему из 2-ух уравнений с двумя неизвестными, а я не понял как это сделать Sad
Нужно выбрать в системе две переменные, определитель из коэффициентов при которых не равен 0, а две другие неизвестные считать параметрами-получится параметрическое задание двумерной плоскости в четырехмерном пространстве.
pavelnix писал(а):
Существует ли аффинное преобразование, переводящее точки \[p_1 = (1,2)\] и \[p_2 = (1,3)\] соответственно в точки \[q_1 = (4,5)\] и \[q_2 = (4,6)\] , а прямую \[(2,3)+(1,0)t\] - в прямую \[(3,4)+(1,2)t\] ?
Попробуйте выписать общий вид двумерного аффинного преобразования с неопределёнными коэффициентами и наложить на него требуемые в задаче условия, после чего исследовать разрешимость получившихся условий на коэффициенты.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 13:23 


24/05/07
10
Brukvalub писал(а):
Нужно выбрать в системе две переменные, определитель из коэффициентов при которых не равен 0, а две другие неизвестные считать параметрами-получится параметрическое задание двумерной плоскости в четырехмерном пространстве.


А что делать с параметрами, когда я найду зависимоти переменных через них - опять нужно решать систему?

Brukvalub писал(а):
Попробуйте выписать общий вид двумерного аффинного преобразования с неопределёнными коэффициентами и наложить на него требуемые в задаче условия, после чего исследовать разрешимость получившихся условий на коэффициенты.


Общий вид:
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   X  \\
   Y  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & B  \\
   D & E  \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   C  \\
   F  \\
\end{array}} \right)
\]
Для двух точек:
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   4  \\
   5  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & B  \\
   D & E  \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   1  \\
   2  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   C  \\
   F  \\
\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}c}
   4  \\
   6  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & B  \\
   D & E  \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   1  \\
   3  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   C  \\
   F  \\
\end{array}} \right)
\]
Найдем неподвижню точку, как пересечение прямых:
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   2  \\
   3  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   1  \\
   0  \\
\end{array}} \right)t_1  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   3  \\
   4  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   1  \\
   2  \\
\end{array}} \right)t_2  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {x_0 }  \\
   {y_0 }  \\
\end{array}} \right) \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {x_0 }  \\
   {y_0 }  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {2,5}  \\
   3  \\
\end{array}} \right)
\]
Для неподвижной точки тоже запишем:
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {2,5}  \\
   3  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & B  \\
   D & E  \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {2,5}  \\
   3  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   C  \\
   F  \\
\end{array}} \right)
\]
Из этих трех матричных уравнений найдем \[A,B,C,D,E,F\]
Далее для точки принадлежащей первой прямой (но не для точки пересечения) запишем преобразование:
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {x_1 }  \\
   {y_1 }  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & B  \\
   D & E  \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   2  \\
   3  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   C  \\
   F  \\
\end{array}} \right)
\]
Осталось проверить \[
(x_1 ,y_1 ) \in \left( {\begin{array}{*{20}c}
   3  \\
   4  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   1  \\
   2  \\
\end{array}} \right)t
\]
Правильно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 16:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Во второй задаче выкладки не проверял, а идея - верная. По первой задаче: задав многообразие параметрически, Вы находите в нем два линейно независимых вектора, с их помощью строите нормаль, начинающуюся в заданной точке и оканчивающуюся на многообразии - длина этой нормали и дает ответ.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 18:09 


24/05/07
10
Brukvalub писал(а):
По первой задаче: задав многообразие параметрически, Вы находите в нем два линейно независимых вектора, с их помощью строите нормаль, начинающуюся в заданной точке и оканчивающуюся на многообразии - длина этой нормали и дает ответ.

Как я понял
1. Многообразие - это плоскость
2. Два линейно-независимых вектора будут параметрически заданы
3. Скалярные произведения тоже будут содержать переменные и параметры, т.к. точка на плоскости (один из концов нормали) имеет 4 координаты.
Что-то как-то сумбурно :(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 18:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
pavelnix писал(а):
точка на плоскости (один из концов нормали) имеет 4 координаты.
На эти 4 координаты есть 4 условия: два уравнения, в пересечении задающие плоскость, и два уравнения - условия перпендикулярности нормали двум линейно независимым векторам из плоскости. Но подход преподавателя позволяет сразу оставить лишь 2 неизвестные - те самые параметры, которые задают плоскость.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 18:36 


24/05/07
10
То есть я вместо двух уравнений, задающих плоскость, записываю парметрическое уравнение для двух ЛНЗ векторов, линейная оболочка которых есть плоскость или я сейчас совсем не туда пошел

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Две координаты точки плоскости Вы можете задавать произвольно - это параметры, а две другие координаты выражаете из уравнений системы. Два ЛНВ Вы находите, например, выбрав на плоскости нач. точку и два конца этих самых линейно нез. векторов на плоскости.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 19:52 


24/05/07
10
Brukvalub писал(а):
Две координаты точки плоскости Вы можете задавать произвольно - это параметры

Это точка нормали?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Нет, для начала, это - произвольная точка плоскости.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2007, 11:01 


24/05/07
10
Зафиксировал две координаты:\[x_1  = x_1^0 ,x_2  = x_2^0 \]
Получил систему:
\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   { - 8x_3  + 13x_4  =  - 19 - 2x_1^0  + 4x_2^0 }  \\
   { - x_3  + 2x_4  = 1 - x_1^0  - x_2^0 }  \\
\end{array}} \right.
\]
Взял два вектора в плоскости:
\[
\overline {AB}  = (x_1^b  - x_1^a ,x_2^b  - x_2^a ,x_3^b  - x_3^a ,x_4^b  - x_4^a ),\overline {AC}  = (x_1^c  - x_1^a ,x_2^c  - x_2^a ,x_3^c  - x_3^a ,x_4^c  - x_4^a )
\]
Далее как я понимаю строим нормаль, но я все равно не понимаю как можно уменьшить число неизвестных: 4 координаты точки нормали - они в моей голове остались как неизвестные :( Или как раз здесь надо взять линейную комбинацию в-ов AB и AC

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2007, 11:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
pavelnix писал(а):
Зафиксировал две координаты:\[x_1 = x_1^0 ,x_2 = x_2^0 \]
не зафиксировал, а освободил, то есть сделал их параметрами.
pavelnix писал(а):
Получил систему:
\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} { - 8x_3 + 13x_4 = - 19 - 2x_1^0 + 4x_2^0 } \\ { - x_3 + 2x_4 = 1 - x_1^0 - x_2^0 } \\ \end{array}} \right. \]
теперь нужно решить систему, иначе все последующие рассуждения делаются абстрактными, а Вам нужна конкретика.Итак, жду решения системы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2007, 15:01 


24/05/07
10
Если не ошибся, то решение такое:
\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {x_3  =  - 3x_1^0  - \frac{5}{3}x_2^0  + 18}  \\
   {x_4  =  - 2x_1^0  - \frac{4}{3}x_2^0  + 9}  \\
\end{array}} \right.
\]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2007, 15:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Теперь, придавая параметрам разные значения, можно получить два линейно нез. вектора из этой плоскости, да и,вообще, любая точка плоскости соответствует не 4-м, а только 2-м значениям неизвестных - параметров \[x_1^0 \;;\;x_2^0\]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2007, 15:56 


24/05/07
10
То есть любая точка плоскости имеет коодинаты:
\[
(x_1^0 ,x_2^0 , - 3x_1^0  - \frac{5}{3}x_2^0  + 18, - 2x_1^0  - \frac{4}{3}x_2^0  + 9)
\]
А далее я определяю два ЛНЗ вектора и записываю скалярное произведение? так да?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group