Код, дуальный к коду Хэминга

[Городецкий Павел]

Я пытаюсь понять решение одной задачи:
Пусть С - код Хэминга длины

\[n = 2^s - 1\]

Найти число наборов, содержащие в С, которые содержатся одновременно и в дуальном (ортогональном) коде.
Решение:
Проверочная матрица Н кода Хэминга длины

\[n = 2^s - 1\]

имеет размер

\[s( 2^s - 1)\]

и состоит из всевозможных ненулевых столбцов высоты s, взятых по одному разу. Следовательно любая строка в Н содержит

\[ 2^s - 1\]

(интуитивно понятно, но как это строго показать), а для любых двух различных строк матрицы Н ровно

\[2^s - 2\]

столбцов, в которых эти две строки одновременно содержат единицы (опять же интуитивно понятно, но как это строго показать) следовательно скалярное произведение двух строк матрицы Н равно 0. Следовательно все коды из С входят и в ортогональный т.е.

\[2^s \]