Матрица линейного преобразования

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Столкнулся с такой задачей:

Найти матрицу линейного преобразования, переводящего каждый вектор $x$ двухмерного линейного пространства в вектор $y$ по следующему алгоритму: симметричное отображение относительно прямой $x_{1}=0$, а затем симметричное отображение относительно прямой $x_{2}=0$.

Подскажите, пожалуйста, с чего начать

[Otta]

Записать первое отображение, второе, а затем композицию. Можно сразу композицию.

[Limit79]

Otta
Матрица первого отображения, вроде, будет $\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Второго -- вроде такая же, или нет?

[Otta]

Limit79 в сообщении #794780 писал(а):

Второго -- вроде такая же, или нет?

Не совсем. А Вы лучше смотрите куда произвольный вектор переходит, а не матрицы. Матрицу и потом можно записать.

[mihailm]

Limit79, посмотрите куда $(1,0)$ переходит после двух преобразований и куда $(0,1)$, это для ответа. (для понимания читайте сообщения Otta)

[Limit79]

Otta
Произвольный? У меня была похожая мысль, как сказал mihailm.

Возьмем два вектора $\{1;0\}$ и $\{0;1\}$

При первом отображении эти два вектора будут: $\{-1;0\}$ и $\{0;1\}$

Тогда, матрица этого преобразования $\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

После второго преобразования, векторы $\{-1;0\}$ и $\{0;1\}$ будут $\{1;0\}$ и $\{0;1\}$

Тогда, матрица этого преобразования $\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Только где-то что-то не так

-- 01.12.2013, 14:19 --

А если произвольный, то был $\{a;b\}$, после первого преобразования стал $\{-a;b\}$, после второго преобразования стал $\{a;b\}$.

[Otta]

Limit79 в сообщении #794909 писал(а):

После второго преобразования, векторы $\{-1;0\}$ и $\{0;1\}$ будут $\{1;0\}$ и $\{0;1\}$

Что вдруг?

Limit79 в сообщении #794909 писал(а):

У меня была похожая мысль, как сказал mihailm.

Хорошая мысль. Просто на это задание глядя, можно сходу оператор выписать, а не только его матрицу. Если оператор посчитался устно, как-то тоскливо смотреть куда переходят базисные вектора.

Но если не считается - надо смотреть, конечно.

-- 01.12.2013, 15:25 --

Limit79 в сообщении #794909 писал(а):

А если произвольный, то был $\{a;b\}$, после первого преобразования стал $\{-a;b\}$, после второго преобразования стал $\{a;b\}$.

Ааа, ну что ж Вас глючит-то? Вы видите, что второй раз - другая прямая?

[Limit79]

Otta в сообщении #794914 писал(а):

Вы видите, что второй раз - другая прямая?

Этот момент меня настораживает, но нет, не вижу, ведь в обоих случаях $x=0$...

[Otta]

А там какие-то цифирьки внизу, не?

[Limit79]

Otta
Ну да, циферки есть, но прямая-то одна - ось $Oy$, соответственно иксовая координата два раза меняет знак, если во второй раз что-то другое, то не могу понять, что это...

По иному говоря, не могу понять, на что влияют те самые циферки, ведь геометрически одно и то же.

[Otta]

$x$ это вектор в соответствии с обозначениями задачи, ваще-т. $y$ - тоже.
Так что же значат цифирьки?
Или иначе: что именно равно нулю на прямой $x_2=0$?

[Limit79]

Otta в сообщении #794924 писал(а):

что именно равно нулю на прямой $x_2=0$?

Иксовая координата.

[provincialka]

Не так! Исходный вектор $(x_1, x_2)$, новый - $(y_1,y_2)$

[Limit79]

provincialka в сообщении #794926 писал(а):

Не так! Исходный вектор $(x_1, x_2)$, новый - $(y_1,y_2)$

После обоих преобразований?

[Otta]

Limit79 в сообщении #794925 писал(а):

Иксовая координата.

А их две. ))
И как-то не возникает даже других подозрений, что $(x_1,x_2)$ - это координаты. Чему ж еще быть?