2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Функция от матрицы
Сообщение30.11.2013, 22:39 
Здравствуйте! Есть вопрос по задаче!

$\ctg\left(\dfrac{\pi}{4}A\right)=?$

$A=\begin{pmatrix}
 3&4  &-6 \\ 
 4&3  &-6 \\ 
 4&4  &-7\\ 
\end{pmatrix}$

Хочется посчитать по этой формуле $\ctg\left(\dfrac{\pi}{4}A\right)=\ctg\left(\dfrac{\pi}{4}SJS^{-1}\right)=S\cdot\ctg\left(\dfrac{\pi}{4}J\right)\cdot S^{-1}$

Но ведь котангенс в нуле не раскладывается в ряд Тейлора... Как быть тут?

 
 
 
 Re: Функция от матрицы
Сообщение30.11.2013, 22:45 
Аватара пользователя
Я не знаю как решать эту задачу, но:

Цитата:
Но ведь котангенс в нуле не раскладывается в ряд Тейлора...


$\ctg(x) - \frac{1}{x}$ доопределенный по непрерывности в точке 0 (устранимого разрыва) — раскладывается. возможно это вам поможет.

 
 
 
 Re: Функция от матрицы
Сообщение30.11.2013, 23:04 
Матрица диагонализуема, поэтому котангенс от её диагонального представления берётся тупо. Тем более тупо, что там ещё и собственные числа очень хорошие.

 
 
 
 Re: Функция от матрицы
Сообщение30.11.2013, 23:46 
ewert в сообщении #794705 писал(а):
Матрица диагонализуема, поэтому котангенс от её диагонального представления берётся тупо. Тем более тупо, что там ещё и собственные числа очень хорошие.


Спасибо! Так?

$$\ctg\left(\dfrac{\pi}{4}J\right)=\ctg\left(\dfrac{\pi}{4}\cdot \begin{pmatrix}
 -1&0 &0 \\ 
 0&-1  &0 \\ 
 0&0  &1\\ 
\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}
 \ctg(-\frac{\pi}{4})&0 &0 \\ 
 0&\ctg(-\frac{\pi}{4})  &0 \\ 
 0&0  &\ctg(\frac{\pi}{4})\\ 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 -1&0 &0 \\ 
 0&-1  &0 \\ 
 0&0  &1\\ 
\end{pmatrix}$$

 
 
 
 Re: Функция от матрицы
Сообщение30.11.2013, 23:52 
Так. Но только потому, что она именно диагонализуема, т.е. потому, что у неё есть собственный базис. Иначе было бы сложнее.

 
 
 
 Re: Функция от матрицы
Сообщение01.12.2013, 00:09 
ewert в сообщении #794727 писал(а):
Так. Но только потому, что она именно диагонализуема, т.е. потому, что у неё есть собственный базис. Иначе было бы сложнее.

Спасибо! А как проверять на диагонализуемость (или только непосредственным вычислением?)

 
 
 
 Re: Функция от матрицы
Сообщение01.12.2013, 00:15 
Только. Во всяком случае, всё остальное дороже выйдет.

 
 
 
 Re: Функция от матрицы
Сообщение01.12.2013, 01:13 
ewert в сообщении #794727 писал(а):
Так. Но только потому, что она именно диагонализуема, т.е. потому, что у неё есть собственный базис. Иначе было бы сложнее.


Спасибо! А почему именно так тупо можно сделать и именно тогда, когда диагонализуема? С чем это примерно связано?

 
 
 
 Re: Функция от матрицы
Сообщение01.12.2013, 01:44 
karandash_oleg в сообщении #794751 писал(а):
А почему именно так тупо можно сделать и именно тогда, когда диагонализуема? С чем это примерно связано?

С определением. Из определения функции от матрицы следует, что если матрица $A$ диагональна, то $f(A)$ тоже диагональна, и под действием функции элементы на диагонали переходят в значения функции от этих элементов. Если жорданова клетка - то получится верхнетреугольная матрица, заполненная коэффициентами ряда Тейлора, в точке, равной соотв. этой клетке собств. значению.

Если матрица недиагонализируема, производные понадобятся - в нужных точках и до нужного порядка. В этой задаче производная в нуле не нужна, по двум причинам: матрица подобна диагональной, во-первых (то есть необходимо вычислять только значения самой функции), во-вторых, в любом случае производные вычисляются в точках спектра, а ноль у нас ею не является.

P.S. Конечно, определение ниоткуда не берется, но это уже отдельная песня.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group