поворот на комплексной плоскости

[gefest_md]

Цитата:

... произведение двух произвольных поворотов вокруг точек $z_1$ и $z_2$ соответственно с углами поворота $\varphi_1$ и $\varphi_2$, $|\varphi_i|<2\pi$, есть снова поворот, если $\varphi_1+\varphi_2\not= 0$, ...

Произведение этих поворотов есть поворот вокруг некоторой точки $z_k$ на угол $\pi.$ В своих попытках использовал такие выражения:

$(((z_k-z_1)z^\prime_1+z_1)-z_2)z^\prime_2+z_2=z_k$

$(z-z_k)(-1)+z_k=\ldots$

На правильном ли я пути? Потому, что дальнейшие шаги у меня не получаются.

[gris]

Почему на $\pi$? На сумму углов.

[gefest_md]

gris в сообщении #794661 писал(а):

Почему на $\pi$? На сумму углов.

Поворачиваю точку $z$ вокруг точки $z_1$ на угол $\varphi_1.$ Затем полученный образ поворачиваю вокруг точки $z_2$ на угол $\varphi_2.$ Я сделал рисунок - возможно не очень точный - и разглядел $\pi.$

[gris]

Ну если сумма углов равна пи, то будет так.
Но рассмотрите частный случай: поворот дважды на небольшие углы вокруг одной и той же точки. Результат будет поворотом вокруг неё на суммарный угол.
Если точки разные, то достаточно рассмотреть плоскость с очень большого расстояния
Это для интуитивного понимания. А точно — надо аккуратно расписать формулы.
Я, честно, уж не помню, что там лучше сделать, в какой форме. Но можно, например, определить неподвижную точку композиции. Это будет новым центром.

[gefest_md]

Угол исправил. Остальное по-моему верно. Из формулы $(((z_k-z_1)z^\prime_1+z_1)-z_2)z^\prime_2+z_2=z_k$ выразил $z_k$ через известные точки и подставил в выражение $(z-z_k)z^\prime_1z^\prime_2+z_k=\ldots$
где $z^\prime_1=\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1$ и $z^\prime_2=\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2.$