Базис тензорного произведения векторных пространств.

[ipp]

Добрый день!

У меня появились некоторые сложности при доказательстве факта, что если $\{u_i\}_{i \in I}$ — базис векторного пространства $U$ над полем $F$, а $\{v_j\}_{j \in J}$ — базис пространства $V$ над тем же полем, то $\{u_i \otimes v_j\}$ — базис их тензорного произведения.

Для начала, принимая во внимание то, что тензорное произведение определено как фактор-пространство с базисом $U\times V$, я определил отображение $B(u,v) = u \otimes v$ и показал, что оно билинейно. Затем, используя то, что $u = \sum_{i \in I} a_i u_i$, $v = \sum_{j\in J} b_j v_j$, показываем, что $u\otimes v = B(u,v) = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} a_i b_j B(u_i, v_j)$ ввиду билинейности. Первый вопрос: правда ли это говорит нам, что такое разложение единственно, то есть элемент $u \otimes v$ однозначно определяется коэффициентами $a_i$ и $b_j$?

Следующая «запятая» — линейная независимость, то есть нужно показать, что семейство $\{ u_i \otimes v_j \}_{i \in I, j \in J}$ линейно независимо. Начинаю я так: пускай не линейно независимо, тогда существует нетривиальная линейная комбинация

$$ \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} a_i b_j (u_i \otimes v_j) = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} a_i b_j B(u_i, v_j) = 0_{U \otimes V}, $$

ну и

$$ B(\sum_{i \in I} a_i u_i, \sum_{j \in J} b_j v_j) = 0_{U \otimes V}, $$

в силу билинейности $B$. На самом деле, $0_{U \otimes V}$ является подпространством пространства с базисом $U \times V$, натянутым на элементы $-(u_1+u_2,v)+(u_1,v)+(u_2,v),\ -(u,v_1+v_2) + (u,v_1) + (u,v_2)\ $ и $- (a u, v) + (u, a v)$, откуда ввиду того, что некоторые $a_i$ и $b_j$ в разложениях
($u=\sum_{i \in I} a_i u_i$ и $v = \sum_{j \in J} b_j v_j$) являются ненулевыми, имеем $(u, v) \in 0_{U \otimes V}$, то есть это линейная комбинация тех самых элементов. Вот тут я застрял. Подскажите, пожалуйста, как можно завершить здесь доказательство.

Вообще, есть еще одна небольшая вещь: пускай мы показали всё выше, то есть единственность и линейную независимость. Нужно ли показывать что-либо еще, например, минимальность полученного порождающего множества? И играют ли какую-то роль в доказательстве размерности пространств (т.е. работает ли доказательство для бесконечномерных пространств)?

Заранее благодарен.

[Oleg Zubelevich]

Вы пользуетесь далеко не самым удачным определением тензорного произведения. Посмотрите Шефер "Топологические векторные пространства " Все проще гораздо.

[svv]

ipp в сообщении #793996 писал(а):

Начинаю я так: пускай не линейно независимо, тогда существует нетривиальная линейная комбинация

$$\sum_{i \in I} \sum_{j \in J} a_i b_j (u_i \otimes v_j) = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} a_i b_j B(u_i, v_j) = 0_{U \otimes V}$$

Скажите, почему Вы не рассматриваете самую общую линейную комбинацию $\sum_{i, j}c_{ij}u_i \otimes v_j$ ? Не всегда ведь набор коэффициентов можно представить в виде $c_{ij}=a_i b_j$.

[ipp]

Oleg Zubelevich в сообщении #794039 писал(а):

Вы пользуетесь далеко не самым удачным определением тензорного произведения. Посмотрите Шефер "Топологические векторные пространства " Все проще гораздо.

Спасибо за совет, но, для меня в том-то и соль, что хочется доказать это опираясь на такое определение (как фактор-пространство векторного пространства, натянутого на базис $U \times V$ по подпространству, натянутому на элементы $-(u_1+u_2,v)+(u_1,v)+(u_2,v),\ -(u,v_1+v_2)+(u,v_1)+(u,v_2),$ $-(av,u) + (v,au)$). Также меня интересует справедливость уже сделанных выводов.

Ну то есть, интуитивно понятно, что в фактор-пространстве мы, грубо говоря, делаем вышеуказанные элементы нулями, тем самым и получая билинейность, но всё ли так хорошо строго? Ну и вопрос о завершении доказательства о базисе всё ещё в силе.

-- 29.11.2013, 02:47 --

svv в сообщении #794059 писал(а):

ipp в сообщении #793996 писал(а):

Начинаю я так: пускай не линейно независимо, тогда существует нетривиальная линейная комбинация

$$\sum_{i \in I} \sum_{j \in J} a_i b_j (u_i \otimes v_j) = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} a_i b_j B(u_i, v_j) = 0_{U \otimes V}$$

Скажите, почему Вы не рассматриваете самую общую линейную комбинацию $\sum_{i, j}c_{ij}u_i \otimes v_j$ ? Не всегда ведь набор коэффициентов можно представить в виде $c_{ij}=a_i b_j$.

Так, видимо я чего-то не понимаю о структуре тензорного произведения. Ведь если $u = \sum_{i \in I} a_i u_i$, $v = \sum_{j\in J} b_j v_j$ (ну, разложили оба по базису соответственно в $U$ и $V$), то, исходя из билинейности, получаем $u\otimes v = B(u,v) = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} a_i b_j B(u_i, v_j)$.
Насколько я понял, в обратную сторону это по каким-то причинам не работает, так?

[svv]

Пусть $u=u_3+u_8$, а $v=v_2-v_5$. Тогда, без всякого сомнения, $u\otimes v$ будет линейной комбинацией $u_3\otimes v_2$, $u_3\otimes v_5$, $u_8\otimes v_2$, $u_8\otimes v_5$, и никаких других базисных элементов $U\otimes V$ здесь не нужно.

Но теперь у нас нет никаких векторов $u$ и $v$, а мы берём различные комбинации базисных элементов (нам интересны «нетривиальные», когда не все коэффициенты нули) и хотим узнать, не получится ли нуль. Хочется верить, что это невозможно, но вдруг?

Так вот, если, к несчастью, такая комбинация существует (до доказательства мы не можем отбросить эту возможность), она в принципе может содержать какие угодно базисные элементы с какими угодно коэффициентами и не обязана быть произведением двух векторов. Например, комбинация может иметь такой вид:
$2.54\;u_6\otimes v_4 - 1.78\;u_{11}\otimes v_8+3.41\;u_{3}\otimes v_3-5.29\;u_{7}\otimes v_8=0$

Вот и докажите, что на самом деле такого быть не может.

ipp в сообщении #794061 писал(а):

Насколько я понял, в обратную сторону это по каким-то причинам не работает, так?

Да, можно так сказать. Далеко не любой элемент $U\otimes V$ является произведением элемента $U$ и элемента $V$.

[ipp]

svv в сообщении #794064 писал(а):

Пусть $u=u_3+u_8$, а $v=v_2-v_5$. Тогда, без всякого сомнения, $u\otimes v$ будет линейной комбинацией $u_3\otimes v_2$, $u_3\otimes v_5$, $u_8\otimes v_2$, $u_8\otimes v_5$, и никаких других базисных элементов $U\otimes V$ здесь не нужно.

Но теперь у нас нет никаких векторов $u$ и $v$, а мы берём различные комбинации базисных элементов (нам интересны «нетривиальные», когда не все коэффициенты нули) и хотим узнать, не получится ли нуль. Хочется верить, что это невозможно, но вдруг?

Так вот, если, к несчастью, такая комбинация существует (до доказательства мы не можем отбросить эту возможность), она в принципе может содержать какие угодно базисные элементы с какими угодно коэффициентами и не обязана быть произведением двух векторов. Например, комбинация может иметь такой вид:
$2.54\;u_6\otimes v_4 - 1.78\;u_{11}\otimes v_8+3.41\;u_{3}\otimes v_3-5.29\;u_{7}\otimes v_8=0$

Вот и докажите, что на самом деле такого быть не может.

ipp в сообщении #794061 писал(а):

Насколько я понял, в обратную сторону это по каким-то причинам не работает, так?

Да, можно так сказать. Далеко не любой элемент $U\otimes V$ является произведением элемента $U$ и элемента $V$.

Хорошо, я понял, но тем не менее, до сих пор не понимаю, как показать, что не существует нетривиальной линейной комбинации нуля для $\{u_i \otimes v_j\}$.

[ipp]

Так, я вроде бы понял идею:

1) Показываем, что разложимый тензор $u \otimes v$ представим в виде линейной комбинации $\sum_{i \in I} \sum_{j \in J} a_i b_j (v_i \otimes v_j) $, в силу билинейности.
2) Произвольный элемент тензорного произведения есть линейная комбинация разложимых тензоров, которые в свою очередь можно представить в виде линейной комбинации элементов вида $u_i \otimes v_j$, следовательно, произвольный элемент тензорного произведения также представим как линейная комбинация $u_i \otimes v_j$.
3) Осталось показать линейную независимость семейства $\{u_i\otimes v_j\}$.

Всё ли так я понял?