Шарики

[Omega]

Помогите пожалуйста разобраться со следующей задачей, уважаемые форумчане. Заранее спасибо.
Итак, на гладком горизонтальном столе лежат два шара массой $m_{1}$ и $m_{2}$ , скреплённые невесомой пружиной жёсткости $k$ и длины $L$.
К шару массой $m_{2}$ прикладывают горизонтальную силу $\vec{F}$.

Необходимо записать уравнения движения для обоих шаров.
Мои действия:
Пусть $\vec{r}_{1},\vec{r}_{2}$ - радиус-векторы первого и второго шаров в прямоугольной системе координат, с началом левее первого шара (см. рис.).
Также, пусть $\vec{r}_{10},\vec{r}_{20}$ - радиус-векторы начального положения первого и второго шаров; $\vec{R}$ - радиус-вектор ц.м. .
Итого:

$$\begin{cases}m_{1}\ddot{\vec{r\!}}_{1}\,=k (\vec{r}_{10}-\vec{r}_{1}) \\ m_{2}\ddot{\vec{r\!}}_{2}\,=k (\vec{r}_{20}-\vec{r}_{2})+\vec{F} \\\end{cases}; \begin{cases}\vec{R}-\vec{r}_{10}=\dfrac{m_{2}L}{m_{1}+m_{2}}\vec{i} \\ \vec{R}-\vec{r}_{20}=-\dfrac{m_{1}L}{m_{1}+m_{2}}\vec{i} \\\end{cases};$$

Также учитывая, что

$$\ddot{\vec{R\!}}=\dfrac{m_{1}\ddot{\vec{r\!}}_{1}\,+m_{2}\ddot{\vec{r\!}}_{2}\,}{m_{1}+m_{2}}$$

У меня получилось, что

$$\Delta \ddot{\vec{r\!}}=\dfrac{\vec{F}}{m_{2}}-\dfrac{k}{2} \left(\dfrac{1}{m_{1}}+\dfrac{1}{m_{2}} \right ) \Delta\vec{r} $$

где $\Delta\vec{r}=\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}-L\vec{i}$
Что за двойка в знаменателе? Ничего не понимаю, ведь её же не должно быть там?
Прошу помощи.

[warlock66613]

Omega в сообщении #793951 писал(а):

$$\begin{cases}m_{1}\ddot{\vec{r\!}}_{1}\,=k (\vec{r}_{10}-\vec{r}_{1}) \\ m_{2}\ddot{\vec{r\!}}_{2}\,=k (\vec{r}_{20}-\vec{r}_{2})+\vec{F} \\\end{cases}$$

Выражения в скобках при $k$ неправильные. Пружина должна тянуть шарики друг к другу (при растяжении, при сжатии - друг от друга), а не к их начальному расположению. И $L$ должно присутствовать.

[Munin]

Щас придёт Oleg Zubelevich, и скажет, что шары катаются, а значит, надо учитывать момент инерции :-)

[nestoronij]

будут ли они вращаться, если нет момента? Все силы по центру, так думаю... А трения нет ( не сказано).

[Omega]

Я в условии написал, что стол гладкий, то есть трения нет.

warlock66613 в сообщении #793955 писал(а):

Omega в сообщении #793951 писал(а):

Пружина должна тянуть шарики друг к другу (при растяжении, при сжатии - друг от друга), а не к их начальному расположению. И $L$ должно присутствовать.

Да, конечно, тогда, получается так?

$$\begin{cases}m_{1}\ddot{\vec{r\!}}_{1}\,=k ((\vec{r}_{10}-\vec{r}_{1})-(\vec{r}_{20}-\vec{r}_{2})) \\ m_{2}\ddot{\vec{r\!}}_{2}\,=-k ((\vec{r}_{10}-\vec{r}_{1})-(\vec{r}_{20}-\vec{r}_{2}))+\vec{F} \\\end{cases}$$

Что в итоге:

$$\begin{cases}m_{1}\ddot{\vec{r\!}}_{1}\,=k\Delta\vec{r} \\ m_{2}\ddot{\vec{r\!}}_{2}\,=-k\Delta\vec{r}+\dfrac{\vec{F}}{m_{2}} \\\end{cases}$$

$$\Delta \ddot{\vec{r\!}}=\dfrac{\vec{F}}{m_{2}}-k\left(\dfrac{1}{m_{1}}+\dfrac{1}{m_{2}} \right ) \Delta\vec{r} $$

[warlock66613]

Omega в сообщении #794092 писал(а):

Да, конечно, тогда, получается так?

$$\begin{cases}m_{1}\ddot{\vec{r\!}}_{1}\,=k ((\vec{r}_{10}-\vec{r}_{1})-(\vec{r}_{20}-\vec{r}_{2})) \\ m_{2}\ddot{\vec{r\!}}_{2}\,=-k ((\vec{r}_{10}-\vec{r}_{1})-(\vec{r}_{20}-\vec{r}_{2}))+\vec{F} \\\end{cases}$$

Нет. У вас сила пружины всё равно зависит от $\vec{r}_{10}$, $\vec{r}_{20}$. А она не может от этого зависеть, она не в курсе, где были шарики в начале. Она может зависеть только от $L$. Забудьте про $\vec{r}_{10}$, $\vec{r}_{20}$. Вот есть два шарика, один в $\vec{r}_1$, другой в $\vec{r}_2$, между ними пружина. С какой силой она действует? Напишите отдельно модуль силы, и отдельно - единичный вектор для её направления. А потом перемножайте.

[Omega]

warlock66613, под $\vec{r}_{10}$, $\vec{r}_{20}$ я подразумеваю радиус-векторы (которые собственно двигаются с ускорением центра масс) положения равновесия шаров в системе "шары-пружина". Но суть от этого не сильно, по-моему меняется. Если всё записать, как говорите Вы, получается следующее:

$$\begin{cases}m_{1}\ddot{\vec{r\!}}_{1}\,=k (\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}-L\vec{i}) \\ m_{2}\ddot{\vec{r\!}}_{2}\,=-k (\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}-L\vec{i})+\vec{F} \\\end{cases}$$

В итоге-то всё равно:

$$\Delta \ddot{\vec{r\!}}=\dfrac{\vec{F}}{m_{2}}-k\left(\dfrac{1}{m_{1}}+\dfrac{1}{m_{2}} \right ) \Delta\vec{r}$$

[nikvic]

Попытайтесь взглянуть на сюжет "сверху".
В СО, где ЦМ серединки пружины покоится, на шарики начинают действовать "растягивающие" силы - по половинке от заданной.

[DimaM]

Omega в сообщении #794195 писал(а):

В итоге-то всё равно:

Ну и нормально. Постоянная сила дает положение равновесия при ненулевом $\Delta r$, а на фоне него происходят колебания.

-- 29.11.2013, 22:13 --

nikvic в сообщении #794209 писал(а):

В СО, где ЦМ серединки пружины покоится, на шарики начинают действовать "растягивающие" силы - по половинке от заданной.

Не по половине - массы-то разные.

[nikvic]

DimaM в сообщении #794267 писал(а):

Не по половине - массы-то разные.

Ок, не заметил

[warlock66613]

Я правильно понимаю, что вопрос решён, двойка исчезла, и все счастливы?

[Omega]

warlock66613, да , я счастлив, всем спасибо! :)