Равномерно ли сходится функциональная последовательность

[PoorFellow Tom]

$f_n(x)=\arctg(2nx)-\arctg(nx)$ $E_1:(0;1) E_2:(1;+\infty)$
$f(x)=\lim_{n\to \infty}f_n(x)=0$ $|r_n(x)|=|f_n(x)|$
Какой икс лучше взять для доказательства неравномерной сходимости , через отрицание определения?

[mihailm]

Возьмите $\frac{1}{n}$ например

[PoorFellow Tom]

А если исследовать равномерную сходимость на втором множестве, какие можно оценки применить?

[mihailm]

PoorFellow Tom в сообщении #793710 писал(а):

А если исследовать равномерную сходимость на втором множестве, какие можно оценки применить?

Графики арктангенсов нарисовать (просто арктангенсов без разности)

[PoorFellow Tom]

Можно ли подставить заместо икс единицу, тем самым оценив его снизу?

[mihailm]

да

[PoorFellow Tom]

А это не помешает потом воспользоваться определением
$\arctg2n - \arctg n<\varepsilon$, или нужно еще преобразования сделать?

[SpBTimes]

Распишите разность арктангенсов.
На втором множестве может быть удобнее найти супремум модуля разности и показать, чтов этой точке все стремится к нулю.

[Otta]

PoorFellow Tom в сообщении #794464 писал(а):

$\arctg2n - \arctg n<\varepsilon$

Если пользоваться способом mihailm, то этой разности неоткуда взяться.

SpBTimes в сообщении #794478 писал(а):

На втором множестве может быть удобнее найти супремум модуля разности

Тоже хорошо. Но в любом случае, расписывать разность арктангенсов незачем.

[PoorFellow Tom]

$r'_n(x)=-\frac{2x}{1+4x^{2}n^{2}}+\frac{x}{1+n^{2}x^{2}}$
После приведения подобных получится $x=\pm\frac{1}{\sqrt{2n^2}}$
$Sup|r_n(x)|=\arctg\sqrt2-\arctg\frac{1}{\sqrt2}\ne0$ Следовательно сходится неравномерно

[Otta]

Стоп-стоп. А кто будет смотреть, в нужном ли множестве Ваши точки?

[PoorFellow Tom]

Да, действительно они не попадают во второе множество, но получаются эти корни, как же быть?

[Otta]

PoorFellow Tom в сообщении #794528 писал(а):

но получаются эти корни, как же быть?

Радоваться.
Зачем Вам знать, как функция ведет себя на другом множестве, если надо - как ведет на этом? Вот на этом и изучайте ее поведение.

[PoorFellow Tom]

Для того чтобы исследовать нужно взять производную и приравнять к нулю, далее поставить точку максимума в остаток

[Otta]

Чудесно. Найти максимум и минимум функции $f(x)=x^2$ на отрезке $[1,2]$.