Основная теорема теории Галуа

[DoubleBubble]

Здравствуйте.

Помогите, пожалуйста, разобраться с двумя вопросами, касающимися основной теоремы теории Галуа.
Если я всё верно понял, то теорема говорит о том, что существует биекция между множеством подполей конечного поля расширения и подгруппами группы Галуа данного расширения.
То есть
$[L:K],\;dim{_K}L<\infty,\; G=Gal(L,K)\; F=\left \{ F : K\subset F\subset L \right \}, \; H=\left \{ H : H \subset G \right \}\Rightarrow \exists \; f: F \leftrightarrow H $
Первый вопрос это значимость теоремы. Даже в названии указано, что она "основная", поэтому хотелось бы осознавать всю ценность проделанной работы. Какие более-менее практические задачи стали разрешимы для меня, когда я узнал об этой теореме? Так проще запоминать.
А второй вопрос это доказательство теоремы. Google ничего не выдал по запросу, может быть кто-то знает книгу, в которое его можно найти?

Спасибо.

[Sonic86]

DoubleBubble в сообщении #793496 писал(а):

А второй вопрос это доказательство теоремы. Google ничего не выдал по запросу, может быть кто-то знает книгу, в которое его можно найти?

Постников Теория Галуа
Артин Теория Галуа
в Винберге не помню есть или нет
в Кострикине Основы алгебры есть
(в ван дер Вардене наверняка есть )

DoubleBubble в сообщении #793496 писал(а):

Первый вопрос это значимость теоремы. Даже в названии указано, что она "основная", поэтому хотелось бы осознавать всю ценность проделанной работы. Какие более-менее практические задачи стали разрешимы для меня, когда я узнал об этой теореме? Так проще запоминать.

Теорема используется для решения вопроса о разрешимости алгебраического уравнения в радикалах. Почитайте какую-нибудь теоретическую книжку по теории Галуа. Очень кратко: там решению уравнения соответствует нормальная цепь полей, а ей соответствует цепочка нормальных подгрупп. Если цепочка есть, по ней можем найти решение уравнения, если ее нет - уравнение неразрешимо.
(если кто другой ответ напишет - читайте его)

[VAL]

DoubleBubble в сообщении #793496 писал(а):

Здравствуйте.

Помогите, пожалуйста, разобраться с двумя вопросами, касающимися основной теоремы теории Галуа.
Если я всё верно понял, то теорема говорит о том, что существует биекция между множеством подполей конечного поля расширения и подгруппами группы Галуа данного расширения.

Поле не обязано быть конечным.
Конечным должно быть расширение. А еще (в классическом случае) нормальным и сепарабельным.

Цитата:

Первый вопрос это значимость теоремы. Даже в названии указано, что она "основная", поэтому хотелось бы осознавать всю ценность проделанной работы. Какие более-менее практические задачи стали разрешимы для меня, когда я узнал об этой теореме? Так проще запоминать.

Долгое время центральной (и чуть ли не единственной) проблемой алгебры было изучение разрешимости алгебраических уравнений в радикалах.
Теория Галуа позволяет свести вопрос о разрешимости уравнения в радикалах к проверки разрешимости некоторой (конечной!) группы перестановок.

Цитата:

А второй вопрос это доказательство теоремы. Google ничего не выдал по запросу, может быть кто-то знает книгу, в которое его можно найти?

Из перечисленных мне ближе всех Ван дар Варден (возможно, потому что я его читал )
А еще есть С.Ленг "Алгебра". Но там изложение потяжелее.

[DoubleBubble]

"Разрешимость в радикалах" это "Выразить корни через коэффициенты с помощью 5 операций"?
И что значит "разрешимость конечной группы перестановок"?

[VAL]

DoubleBubble в сообщении #793537 писал(а):

"Разрешимость в радикалах" это "Выразить корни через коэффициенты с помощью 5 операций"?
И что значит "разрешимость конечной группы перестановок"?

Это значит, что в ней есть ряд нормальных подгрупп с абелевыми факторами.

[Aritaborian]

DoubleBubble в сообщении #793537 писал(а):

"Разрешимость в радикалах" это "Выразить корни через коэффициенты с помощью 5 операций"?

Да. Сложение, вычитание, умножение, деление, взятие корня. Хотя с точки зрения алгебры здесь три операции, ибо вычитание и деление суть прибавление обратного элемента и умножение на обратный элемент.

[Sonic86]

DoubleBubble в сообщении #793537 писал(а):

"Разрешимость в радикалах" это "Выразить корни через коэффициенты с помощью 5 операций"?
И что значит "разрешимость конечной группы перестановок"?

Берите книгу и читайте: это большая и нетривиальная теория, собирать ее здесь по кусочкам из ответов неправильно. Вам просто кратко обрисовали суть, а цельную картинку лучше ищите в книге.

[VAL]

Например, в $S_4$ нормальными подгруппами будет знакопеременная группа $A_4$ и четверная группа Клейна $K_4=\{e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)\}$. Соответствующие факторгруппы $S_4/A_4$ и $A_4/K_4$ и сама $K_4$ имеют порядки 2, 3 и 4. Следовательно они абелевы. Это гарантирует разрешимость общего уравнения 4-й степени в радикалах.

[DoubleBubble]

Из всех указанных книг, доказательство есть только в Ван дер Вардене. Но по нему есть вопрос.
Вот формулировка:

Вот доказательство:


Ну и на всякий случай "моя" формулировка:
$[L:K],\;dim{_K}L<\infty,\; G=Gal(L,K)\; F=\left \{ F : K\subset F\subset L \right \}, \; H~=~\left \{ H : H \subset G \right \}\Rightarrow~\exists \;f:~F \leftrightarrow~H $

Так вот сказано, что $G$ - группа, следовательно теорема доказана.
Почему? Ну, известно, что мощность этой группы совпадает со степенью расширения $[L:K]$, но

[VAL]

DoubleBubble в сообщении #793615 писал(а):

Из всех указанных книг, доказательство есть только в Ван дер Вардене.

Неправда!

Цитата:

Но по нему есть вопрос.
[..]
Так вот сказано, что $G$ - группа, следовательно теорема доказана.
Почему? Ну, известно, что мощность этой группы совпадает со степенью расширения $[L:K]$, но

Читайте внимательнее само утверждение 1, а также предыдущий параграф. Все, что утверждается в первом пункте основной теоремы уже показано раньше.

[apriv]

Теория Галуа появляется везде, где появляются поля, их расширения или автоморфизмы — во многих областях алгебры. Кроме того, группа Галуа — один из вариантов фундаментальной группы: в топологии фундаментальная группа классифицирует накрытия данного пространства в том же смысле, как группа Галуа классифицирует расширения основного поля. То есть, это один из примеров соответствий Галуа, которые возникают не только в алгебре, но в математике вообще. Приложения к разрешимости уравнений в радикалах исторически первые, но не самые интересные и сейчас не очень важны.

[DoubleBubble]

VAL в сообщении #793622 писал(а):

Читайте внимательнее само утверждение 1, а также предыдущий параграф. Все, что утверждается в первом пункте основной теоремы уже показано раньше.

Наверное я очень рассеянный студент, потому что прочитав предыдущий параграф и утверждение - так и не разобрался.
Очевидно, что я либо что-то не замечаю, либо не понимаю. Можете сказать, что именно?

[VAL]

DoubleBubble в сообщении #796305 писал(а):

VAL в сообщении #793622 писал(а):

Читайте внимательнее само утверждение 1, а также предыдущий параграф. Все, что утверждается в первом пункте основной теоремы уже показано раньше.

Наверное я очень рассеянный студент, потому что прочитав предыдущий параграф и утверждение - так и не разобрался.
Очевидно, что я либо что-то не замечаю, либо не понимаю. Можете сказать, что именно?

А Вы можете сказать, что именно не доказано?

[DoubleBubble]

Не так. Я просто не понимаю,почему так.
Как я уже сказал - по-моему в доказательстве сказано, что "$G$ - группа, следовательно теорема доказана."

Вы заметили, что там сказано куда больше, и используются факты из предыдущего параграфа. Мне показалось понятным всё, что я прочитал в предыдущем параграфе, но доказательства я так и не понял. И я так и не увидел ничего нового в доказательстве.

[VAL]

DoubleBubble в сообщении #796327 писал(а):

Не так. Я просто не понимаю,почему так.
Как я уже сказал - по-моему в доказательстве сказано, что "$G$ - группа, следовательно теорема доказана."

Вы заметили, что там сказано куда больше, и используются факты из предыдущего параграфа. Мне показалось понятным всё, что я прочитал в предыдущем параграфе, но доказательства я так и не понял. И я так и не увидел ничего нового в доказательстве.

В предыдущем параграфе сказано, что автоморфизмы, оставляющие на месте все элементы поля образуют группу (группу Галуа данного нормального сепарабельного расширения исходного поля). Рассмотрим те автоморфизмы группы Галуа, которые оставляют на месте все элементы некоторого промежуточного подполя. Ясно, что они также образуют группу (содержат тождественный элемент и замкнуты относительно композиции и взятия обратного элемента). Итак, мы имеем часть элементов исходной группы, которые сами образуют группу, т.е подгруппу группы Галуа.

Честное слово не пойму, что (именно в этом самом прозрачном пункте) может быть неясно.