логарифмическая функция

[sent]

Разложение логарифмической функции в степенной ряд.

у меня возник такой вопрос.
я пользуюсь разложением функции ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3*-...-((-1)^n)(x^(n+1)/(n+1))
как известно, данный ряд сходится при x=(-1;1].
как поступать, если мне нужно найти значение функции при x, не входящим в этот интервал?

[Someone]

Написанное Вами разложение

$$\ln(1+x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{x^k}k$$

даёт логарифмы чисел из промежутка $(0,2]$. Например, при $x=1$ получаем

$$\ln 2=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}k\text{.}$$

Для чисел вне этого промежутка есть несколько простых вариантов.
1) Если задано число $x\geqslant\frac 12$, то, положив $1+t=\frac 1x$, получим $t=\frac 1x-1=-\frac{x-1}x$, и, как легко проверить, будет $t\in(-1,1]$. Поэтому

$$\ln x=-\ln(1+t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac 1k\left(\frac{x-1}x\right)^k\text{.}$$

Например, при $x=2$ получим

$$\ln 2=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac 1{k2^k}\text{;}$$

этот ряд сходится намного быстрее предыдущего.
2) Для произвольного числа $x>0$ можно положить $x=\frac{1+t}{1-t}$; тогда $t=\frac{x-1}{x+1}$ и $t\in(-1,1)$, поэтому

$$\ln x=\ln(1+t)-\ln(1-t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac 2{2k-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2k-1}\text{.}$$

Например, при $x=2$ получим

$$\ln 2=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac 2{(2k-1)3^{2k-1}}\text{,}$$

что сходится ещё быстрее, чем в предыдущем случае.
3) Если речь идёт о вычислении логарифмов натуральных чисел, то в предыдущем разложении можно подставить $t=\frac 1{2n+1}$; тогда $x=\frac{n+1}n$, и получается

$$\ln(n+1)=\ln n+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac 2{(2k-1)(2n+1)^{2k-1}}\text{.}$$

Достаточно ограничиться логарифмами простых чисел. Например, при $n=1$ получим для $\ln 2$ тот же ряд, что и в предыдущем примере.
Так как $3^2=2^3+1$, подставляя $n=8$, получим

$$2\ln 3=3\ln 2+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac 2{(2k-1)17^{2k-1}}\text{.}$$

При $n=24$ получится

$$2\ln 5=3\ln 2+\ln 3+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac 2{(2k-1)49^{2k-1}}\text{,}$$

при $n=48$ -

$$2\ln 7=4\ln 2+\ln 3+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac 2{(2k-1)97^{2k-1}}\text{,}$$

и так далее.

[sent]

Спасибо, очень помогли.
Все же позвольте поинтересоваться еще по одному вопросу.
Ведь разложение ln(1+x) получено путем интегрирования разложения в точке x0=0. Скажите, пожалуйста, если перенести этот центр разложения в другую точку (например 1), то мы ведь получим ряд такой:
1/(x+1)=1/2-(1!/4)/1! (x-1)+ (2!/8)/2! (x-1)^2-...-(-1)^n 1/2^(n+1) (x-1)^n+...
Если взять x0=2, то общий член ряда получится такой: (-1)^n 1/3^(n+1) (x-1)^n
Можно предположить (к сожалению, я не знаю как это доказать), что для x0 произвольного общий член примет такой вид (-1)^n 1/(x0+1)^(n+1) (x-x0)^n.
Также можно предположить, что интервал сходимости будет x0-1 < x0 <= x0+1.
Если проинтегрировать, то получим (-1)^n 1/(x0+1)^(n+1) (x-x0)^(n+1)/(n+1)
Получается, что это общий член разложения для функции ln (x+1) для любого x0.
Интервал сходимости все тот же x0-1 < x0 <= x0+1.

То есть выходит, что если мне надо найти например ln 5, то я выбираю x0 где-нибудь недалеко и подставляю в формулу. Вроде логика правильная, но результат не получается правильным.
Может выбор x0 надо как-то предусматривать другой или еще что.
И может Вы встречались с доказательством для общего члена (-1)^n 1/(x0+1)^(n+1) (x-x0)^n?
Оно, конечно, необходимо, только если весь вывод правильный.
[/math]

[Brukvalub]

sent писал(а):

Ведь разложение ln(1+x) получено путем интегрирования разложения в точке x0=0.

Интегрирования чего?

sent писал(а):

Если взять x0=2, то общий член ряда получится такой: (-1)^n 1/3^(n+1) (x-1)^n

Какого ряда? В математике не выводят формулы и не доказывают теоремы "по аналогии".

[Someone]

Воспользуемся рядом Тейлора:

$$f(x)\sim\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\text{.}$$

Для функции $f(x)=\ln x$ при $x_0>0$ получаем $f^{(0)}(x_0)=f(x_0)=\ln x_0$ и $f^{(k)}(x_0)=(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x_0^k}$ при $k\geqslant 1$, поэтому

$$\ln x=\ln x_0+\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{(x-x_0)^k}{kx_0^k}\text{;}$$

Это равенство выполняется при $x\in(0,2x_0]$.

P.S. Постарайтесь освоить тег [math]. Это проще, чем можно подумать, а всем будет хорошо. Примеры Вы всегда можете посмотреть в сообщениях других участников форума, просто наведя курсор мыши на интересующую Вас формулу.

[нг]

[mod]sent
Исправьте, пожалуйста, Ваши сообщения используя принятый на форуме способ набора формул. Согласитесь, что ответы Someone и Brukvalub читать заметно удобнее.

Тема перемещается в «Карантин». Сообщите, пожалуйста, ЛС модератору, когда исправите.[/mod]