Конечное число квадратов

[Ktina]

Существует ли такая строго возрастающая последовательность $a_n$, элементами которой являются только целые числа, что для любого целого $k$ последовательность $a_n+k$ содержит лишь конечное число квадратов целых чисел?

[EtCetera]

Если имелось в виду $a_k+k$ (?), то чем плоха последовательность квадратов?

[Ktina]

EtCetera в сообщении #792726 писал(а):

Если имелось в виду $a_k+k$ (?), ...

Не имелось. Там же написано "для любого целого $k$".

[venco]

EtCetera в сообщении #792726 писал(а):

чем плоха последовательность квадратов?

[gris]

Но $k$ же целое, то есть может быть и ноль? Тогда из последовательности квадратов получим последовательность квадратов, где их бесконечно много.

Может быть увеличенные квадраты, типа $a_n=n^2+n$? Сама последовательность вообще квадратов не содержит, так как больше очередного квадрата $n^2$, а то следующего $n^2+2n+1$ не дотягивает. По той же причине для любого $k$ при $n>|k|$ каждый член последовательности будет находиться между последовательными натуральными квадратами. С отрицательными $k$ получается, по-моему.

[Shadow]

Да хоть $a_n=n^2+1$ Ведь для любой константы А, уравнение $n^2+A=m^2$ имеет конечное число решений.

-- 26.11.2013, 09:55 --

Ой, $k=-1$ Лучше как gris

[Ktina]

gris
Shadow
А у меня на сей раз туповатое решение вышло:

Первое число $m_1$ делится на 2, но не делится на 4. Второе число $m_2$ больше первого, делится на 2, но не делится на 4, а также $m_2-1$ делится на 3, но не делится на 9. Третье число $m_3$ больше второго, делится на 2, но не делится на 4, а также $m_3-1$ делится на 3, но не делится на 9, да ещё и $m_3+1$ делится на 5, но не делится на 25. Четвёртое число $m_4$ больше третьего, делится на 2, но не делится на 4, а также $m_4-1$ делится на 3, но не делится на 9, да ещё и $m_4+1$ делится на 5, но не делится на 25, к тому же $m_4+2$ делится на 7, но не делится на 49. Ну и так далее.
Теперь вот сижу и думаю, как всё это по-людски сформулировать

[gris]

Задача лёгкая, но очень милая . Даже я идею сразу ухватил, что промежутки между столбами строго монотонно увеличиваются и надо попадать в их середины. Ну для восьмиклассников пойдёт. И для первокурсников как упражнение на последовательности. Впрочем, это хорошо, что у Вас задачи в широком диапазоне.С делимостью очень мудрёно мне кажется.