Аналитическое решение одного УМФ

[Nikita1]

Можно ли найти аналитическое решение данного уравнения? Ну например, в виде бесконечных рядов или интегралов.

$$ \frac{\partial p}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r(ap+b)\frac{\partial p}{\partial r})$$

$a,b=\operatorname{const}$
$P(R_w,t)=P_w, P(R_k,t)=P_k, P(r,0)=P_0$
$R_w\leq r \leq R_k$

[Vince Diesel]

Замена $q=ap+b$ несколько упрощает уравнение

$$ \frac{\partial q}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(rq\frac{\partial q}{\partial r}). $$

Однако, поскольку оно нелинейное, то так просто вряд ли в ряд раскладывается. Разве что справочнини смотреть. Вдруг конкретно для этого есть замена, сводящая его к линейному. Несколько точных решений есть здесь, 1.3.3 и в книге А.Д. Полянин, А.В. Вязьмин, А.И. Журов, Д.А. Казенин "Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса". Там же есть ссылки на литературу. Хотя, раз в этом справочнике нет замены, тоскорее всего линеаризации и нет, поскольку такое уравнение давно рассматривали.

[pi-314]

2 Nikita1:

судя по принятым в постановке задачи обозначениям, Вы пытаетесь решить какую-то модификацию уравнения пьезопроводности из области нефтегазовой гидромеханики.
В таком случае у Вас наверняка есть доступ к скачиванию статей на www.onepetro.com. Если вы стажер в НК - спросите на работе, у них точно есть доступ. Поищите там по ключевым словам Laplace Transform, Well Testing.

Обычно такие задачи в данной области решают путем получения решения в пространстве Лапласа. Если обратное преобразование в аналит. функциях не известно - используют численное обратное преобразование Лапласа, например, на основе алгоритма Stehfest'а.

Скиньте в личку контактный мейл, вышлю пару статей для затравки.