Нестационарное уравнение теплопроводности.

[dimagoog]

Внутри слоя толщиной 2а, а=0.025м происходит объемное тепловыделение плотностью $q_v$. Начальная температура равна 0, грани x=-a, x=a излучают в окружающую среду с нулевой температурой по закону Ньютона, коэффициент теплоотдачи воздуха равен 20.

Есть пример разбора задачи, с другими граничными условиями, и в случае, когда плотность тепловыделения зависит от координаты и времени, то есть $q_v=f(x,t)$.

Общий вопрос такой: можно ли аналогично решать задачу в данном случае, когда плотность константа?
И если можно, то прошу помочь найти ошибку. Если же нет, то прошу дать указания о том как решать по-другому.
Спасибо.

1) Дабы не рассматривать 2 условия III рода воспользовался симметрией, соответственно
условие "слева": $x=0: \frac {du} {dx}=0 $, а "справа": $x=a: \frac {du}{dx}+hu=0$

2) Само уравнение $U_t=\alpha^2U_x_x+\frac {q_v} {c\rho}$, где $\alpha^2= \frac {k} {c\rho}.$

3) Дальше как я понял рассматривается $U=X(x)T(t) $ и решается задача Штурма-Лиувилля.
Для данных граничных условий будет:
$X=\cos(\sqrt{\lambda_n}x)$, где $\sqrt{\lambda_n}=\frac{h}{\tg(\sqrt{\lambda_n}a)}, n \in N$.

4) Тогда U(x,t) выражается в виде
$U(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}U_n(t)\cos{\sqrt{\lambda_n}x}$, где $U_n(t)$ зависит только от t.

5)Затем, в случае задачи с $q_v=f(x,t)$, f(x,t) раскладывается в ряд по $X=\cos(\sqrt{\lambda_n}x)$. Здесь становится не вполне понятно, что делать при $q_v=$ const

6)Подставляя полученное в 4) и 5) в 2), пользуясь начальным условием, находим функцию $U_n(t)$, решив таким образом задачу.