Полное пространство

[Ward]

Здравствуйте!

Полно ли пространство отрезков на прямой с метрикой $\rho([a,b], [c,d])=|a-c|+|b-d|$?

Вот моя попытка: Возьмем последовательность $x_n=[1/n, 1]$ и $x_m=[1/m, 1]$. Так как $\rho(x_n, x_m)\to 0$ при $n, m \to \infty$. Следовательно, $\{x_n\}$-- фундаментальная последовательность. Но $x_n\to (0,1]$ при $n\to \infty$, но $(0,1]$ не принадлежит пространству отрезков.

[provincialka]

Вроде верно. А почему вы сомневаетесь?

[Ward]

Но дело в том, что с одной стороны $[1/n,1]$ сходится к отрезку $[0,1]$, так как $\rho([1/n,1], [0,1])=\frac{1}{n}\to 0$ при $n\to \infty$

[provincialka]

Ну да, верно. То есть не надо придумывать новый объект (полуинтервал), если в пространстве есть подходящий отрезок. Резонно.
Может, посмотреть на задачу так: каждый отрезок можно задать точкой плоскости (вернее, полуплоскости, т.к. $a\le b$). Тогда ваша метрика - это обычная манхэттенская метрика на плоскости, эквивалентная, как известно, евклидовой. Ну, а в этой метрике полуплоскость полна. Если рассматривать ее с границей, т.е. допускать случай $a=b$. Итак, дело сводится только к тому, входят ли в число отрезков вырожденные, вида $[a,a]$

[Ward]

Я этими вещами начал заниматься буквально недавно.
Т.е. Вы утверждаете что это пространство полно?

-- 24.11.2013, 14:35 --

Я думаю, что отрезки вида $[a,a]$ все-таки входят в это пространство.
Если бы не входили, то оно не было бы полным так как можно взять последовательности $x_n=[0, 1/n]$ и $x_m=[0, 1/m]$

[popolznev]

Ward в сообщении #792030 писал(а):

Я думаю, что отрезки вида $[a,a]$ все-таки входят в это пространство.

Так это дело договоренности - разве нет?

[Ward]

Ну будем считать что такие отрезки также входят в наше пространство.
А как тогда в таком случае доказать полноту?

-- 24.11.2013, 14:48 --

Все разобрался! Спасибо!