Составить функцию для минимизации

[spctr]

Дан вектор из $\mathbb{R}^n$. Существует ли выпуклая функция, которая достигает минимум в случае, когда ровно $m$ компонент этого вектора равны нулю?

[ИСН]

$\mathbb R^n$ - это очень сложно, практически за пределами воображения. Посмотрите на $\mathbb R^2$. Что хорошего можно сказать о функции $f(x,y)$, которая равна одному и тому же (минимуму) везде на прямой $x=0$, и также на прямой $y=0$, а только вот при $x=0,\,y=0$ - не равна?

[spctr]

Я ничего хорошего про такую функцию сказать не могу. На ум приходят всякие дельта функции, а также $\max(\min(\vert a \vert, \vert b \vert), \vert a-b \vert )$ и другие функции такого же типа.

[ИСН]

Переосмыслите в других терминах то, что Вам приходит на ум, потому что пока оно не очень годится. $max$ и $min$ - хорошие функции (они хотя бы непрерывны), а дельта-функция - вообще не функция.

[spctr]

$\min(x/\Vert x \Vert_{\infty})$ вроде бы почти подходит, но делить на ноль нельзя.

[ИСН]

Смысла этих букв я вообще не понял, поэтому игнорирую. Вы что хотите сделать: найти функцию из условия, или доказать, что её нет?

[spctr]

До последнего сообщения хотел найти, но теперь думаю, что надо доказывать, что её нет