Задача, кинематика

[Edmonton]

Помогите, пожалуйста, дедлайн - среда.

Условие: Центры $O$ и $A$ шестерни $1$ и $2$ соединены кривошипом $OA$, который вращается с постоянным угловым ускорением $\varepsilon$, имея в данный момент угловую скорость $\omega$, вокруг оси $O$. Шестерня $1$ вращается вокруг этой же оси с угловым ускорением $\varepsilon_1 = -\varepsilon$, имея в данный момент угловую скорость $\omega_1 = - \omega$. Найти скорость и ускорение точки $M$ шестерни $2$ в момент, когда точка $M$ является противоположной точке касания. Радиусы шестерни $r_1 = R, r_2 = \frac{3}{4}R.$



Моя попытка решения:

Пытался разложить движение шестерни $ 2$ на два разных по причине движения, первое - вызванное кривошипом, второе - вызванное движением шестерни $1$, тогда
1) $\omega = \frac{2 \pi}{T}, \Rightarrow T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi (R_1+2R_2)}{V_1}; V_1 = (R_1+2R_2)w$

2) $\omega = \frac{2 \pi}{T}, \Rightarrow T = \frac{2 \pi R_1}{V_2}; V_2 = \omega R_1 $

Далее я искал скорость как сумму этих скоростей, а ускорение как $w=\sqrt{w^2_n+w^2_t}$, но как мне стало известно, данный подход оказался полностью неверен. Объясните пожалуйста, как именно следовало решать данную задачу?

[Oleg Zubelevich]

теорема сложения (угловых) скоростей, теорема сложения (угловых) ускорений

[Edmonton]

Oleg Zubelevich в сообщении #791694 писал(а):

теорема сложения (угловых) скоростей, теорема сложения (угловых) ускорений

Вы имеете ввиду эти теоремы:

$\textbf{v}_{abs} = \textbf{v}_{per}+\textbf{v}_{otn}$
$\textbf{w}_{abs}=\textbf{w}_{otn}+\textbf{w}_{per}+\textbf{w}_{kor}$
?

Если да, то можно ли сделать следующие шаги:
Выбрать в качестве латинской системы исходную СО, в качестве греческой - систему отсчёта, связанную с кривошипом, и в таком случае найти скорость в точке касания из соотношений:
$v_{otn} = r_2 \cdot (-\omega_1)$ - т.к. центр второй шестерни покоится в греческой СО
$v_{per} = r_1 \cdot \omega_1 $
и $v_{abs} = \omega_1 (r_1 - r_2)$

Для точки, скорость которой по условию и просится найти, аналогично ищутся
$v_{otn} = r_2 \cdot \omega_1$
$v_{per} = (r_1+2r_2) \cdot \omega_1$
$v_{abs} = 2\omega_1(r_1+r_2)$
Но это если временно "забить" на то, что первая шестерня тоже крутится. А как учесть и её движение?

[Edmonton]

А если пойти таким путём?
Из теоремы о сложении скоростей найти скорость середины второй шестерни:

$V = \omega (R+\frac{3}{4}R)=\frac{7}{4}\omega R$

Из уравнения Эйлера получить

$V_M = V_B + \Omega \times BM = \begin{pmatrix} 0\\ - \frac{7}{4}\omega\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ - \frac{11}{3} \omega \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{3}{4}R\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$
, где за $B$ взять центр маленькой шестерни.

Так как

$\Omega = \frac{V}{\frac{3}{4}R} + \frac{V_1}{\frac{3}{4}R} = \frac{\omega R}{\frac{3}{4} R} + \frac{\frac{7}{4}\omega R}{\frac{3}{4} R} = \omega \frac{7}{3} + \omega \frac{4}{3} = \frac{11}{3} \omega$

, то

$V_M = \begin{pmatrix} 0\\ - \frac{7}{4}\omega R\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ -\frac{11}{3} \omega \frac{3}{4} R\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ - \omega R \frac{18}{4}\\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow |V_M| = \frac{9}{2} \omega R$

Является ли цепочка представленных рассуждений верной?

[Edmonton]

В общем, если кто-то столкнётся с затруднениями с подобной задачей, то
1) Ищется скорость середины второй шестерни, как уже было указано
2) Ищутся угловые скорость и ускорение второй шестерни из того факта, что линейные скорости шестерней в точке касания равны.
3) Ищется скорость нужной точки через пп. 1-2 и уравнение Эйлера
4) Ищется ускорение середины второй шестерни
5) Ищется ускорение нужной точки через пп. 2, 4

Всем огромное спасибо за помощь!