Последовательность

[MestnyBomzh]

Помогите,пожалуйста,с задачей:Последовательность ${x_n}$ такова, что для всех $n$,начиная с некоторого,выполняется неравенство $0<x_{n+1}<x_n$,и последовательность $\sum_{k=1}^n x_n=0$ cходится.Докажите, что $\lim_{n \to \infty} n\cdot x_n=0$
Собственно,обычно,люди пишут свои догадки в задаче....Но,к сожалению,я не продвинулся даже с условия...

[Aritaborian]

(Про $\TeX$)

Предел набирается так: \lim \limits_{n \to \infty}x_n

[gris]

Последовательность положительная и монотонно убывающая, сходится к нулю по необходимому признаку сходимости соответствующего ряда.
Таких много: $x_n=\dfrac 1n; x_n=\dfrac 1{2^n}; x_n=\dfrac1{x^2}$.
Для первой ряд из её членов расходится, для двух других — сходится. И для них указанный предел равен нулю.
А для первой единице. Можно построить убывающую к нулю последовательность, у которой указанный (устраняю двусмысленность, спасибо iifat) предел будет бесконечным или не существовать. Но только ряд будет расходящимся. А для сходящегося нельзя. Почему?

[iifat]

gris в сообщении #791415 писал(а):

Можно построить убывающую к нулю последовательность, у которой предел будет бесконечным или не существовать

Ээээ... Эта фраза, несомненно, соответствует правилам, запрещающим прямо писать решение учебной задачи. Понять бы ещё, что, во имя всего святого, вы имели в виду?

[svv]

gris имел в виду:

Можно построить убывающую к нулю последовательность $(x_n)$, у которой предел $\lim\limits_{n \to \infty} nx_n$ будет бесконечным или не существовать. Но только ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$ будет расходящимся.

[gris]

Да. Иногда с учеником достаточно просто поговорить на тему, чтобы у него появились плодотворные дебютные идеи. А кроме того, я несколько предварил скоропалительную попытку доказать от противного предположением, что предел произведения отличен от нуля.

Двусмысленность в предыдущем своём сообщении устранил

[MestnyBomzh]

gris в сообщении #791415 писал(а):

Последовательность положительная и монотонно убывающая, сходится к нулю по необходимому признаку сходимости соответствующего ряда.
Таких много: $x_n=\dfrac 1n; x_n=\dfrac 1{2^n}; x_n=\dfrac1{x^2}$.
Для первой ряд из её членов расходится, для двух других — сходится. И для них указанный предел равен нулю.
А для первой единице. Можно построить убывающую к нулю последовательность, у которой указанный (устраняю двусмысленность, спасибо iifat) предел будет бесконечным или не существовать. Но только ряд будет расходящимся. А для сходящегося нельзя. Почему?

Вы правы,я,к сожалению,просмотрел.. В условии сказано: ...и $\sum_{k=1}^n x_n$сходится...

[provincialka]

(Оффтоп)

подкинула задачку маме

От противного тут доказывать неудобно, надо выделять из $n\cdot a_n$ какую-то подпоследовательность, которая плохо себя ведет. А что делать с остальными членами? Даже монотонность не помогает.

Лучше использовать критерий Коши для ряда и оценить отрезок через последнее (наименьшее) слагаемое.

[iifat]

А вообще, верна ли теорема?
$x_n=\begin{cases}\frac1n&n=2^k\\ \frac1{2^n}\end{cases}$

-- 23.11.2013, 10:22 --

А, монотонного убывания не будет. Забудьте.

[MestnyBomzh]

iifat в сообщении #791583 писал(а):

А вообще, верна ли теорема?
$x_n=\begin{cases}\frac1n&n=2^k\\ \frac1{2^n}\end{cases}$

-- 23.11.2013, 10:22 --

А, монотонного убывания не будет. Забудьте.

Прошу прощения,что так долго не отвечал...
Не могли бы вы уточнить свой контрпример к моей задаче?

[provincialka]

MestnyBomzh в сообщении #792353 писал(а):

Не могли бы вы уточнить свой контрпример к моей задаче?

Вам же сказали "забудьте". Нет там контрпримера, задача правильная. Мы доказали.

provincialka в сообщении #791544 писал(а):

Лучше использовать критерий Коши для ряда и оценить отрезок через последнее (наименьшее) слагаемое.

Вот это и попробуйте, там получается.

[MestnyBomzh]

provincialka в сообщении #792366 писал(а):

MestnyBomzh в сообщении #792353 писал(а):

Не могли бы вы уточнить свой контрпример к моей задаче?

Вам же сказали "забудьте". Нет там контрпримера, задача правильная. Мы доказали.

provincialka в сообщении #791544 писал(а):

Лучше использовать критерий Коши для ряда и оценить отрезок через последнее (наименьшее) слагаемое.

Вот это и попробуйте, там получается.

Спасибо,завтра попробую!)

[provincialka]

MestnyBomzh. Вы зря цитируете весь пост, когда хотите ответить на одно предложение. Используйте лучше кнопку "Вставка". С ее помощью можно вставить любой кусочек текста.

[TOTAL]

provincialka в сообщении #791544 писал(а):

От противного тут доказывать неудобно, надо выделять из $n\cdot a_n$ какую-то подпоследовательность, которая плохо себя ведет. А что делать с остальными членами? Даже монотонность не помогает.

От противного тоже легко.
Пусть

$$n_1 \cdot x_{n_1} > \varepsilon, \;\; n_2>2n_1, \;\; n_2 \cdot x_{n_2} > \varepsilon.$$

Тогда

$$\sum_{i=1}^{n_2}x_i > \sum_{i=1}^{n_1}x_i + \varepsilon /2. $$

И так далее.

[provincialka]

Да, примерно так, только у вас это "с неба" берется. Думаете, ТС до этого додумается?

(Оффтоп)

Кстати, не желательно давать полное решение