Кон Кате -- нация!

[Ktina]

Натуральное число $A$ состоит из 20 цифр. На доску выписали число $\underbrace{\overline{AA\dots A}}_{\text{101 раз}}$, после чего последние 11 цифр стёрли.
Докажите, что полученное 2009-значное число не может быть степенью двойки.
(А. Голованов)

[Sphinx Pinastri]

>>> for i in range(6671,6674):
>>>     print( format(2**i)[0:20] == format(2**i)[20:40])
... 
False
False
False

[Ktina]

Sphinx Pinastri
На олимпиаде за пользование калькулятором приговаривали к стенке.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #791273 писал(а):

(А. Голованов)

Но там написано, что автор некий Н. Филонов (это задача 4 для 9 класса, городской тур С-Петербургской олимпиады 2010 года).

[gris]

Тут надо встать на позицию составителя задачи. Теорема справедлива и при некоторых других параметрах, но он хотел получить именно 2009 цифр. Как он подгонял общее решение к конкретному случаю, что менял, какие критические связи оставлял.

[Droog_Andrey]

Для $A=10^{20}-1$ решение очевидно, т.к. число будет делиться на $9$. В противном случае

$$N = \lfloor\frac{A}{10^{20}-1}\cdot10^{2009}\rfloor$$

Поскольку $N(10^{20}-1)$ отличается от числа $A\cdot10^{2009}$ менее чем на $10^{20}$, оно не может тоже делиться на $2^{2009}$.