Найти значения k,p для которых выражение отрицательно

[kfranks]

Найти все пары k,p для которых данное выражение отрицательно
$\sin^2(\alpha+\beta)-k$\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha+\beta)+p$\cos^2(\alpha+\beta)

Если известно, что ctg(\alpha), ctg(\beta) корни приведенного квадратного уравнения $x^2+kx+p=0.

Я делал так:

$x^2+kx+p=(x-\ctg(\alpha))(x-\ctg(\beta)) kx+p=x(-\ctg(\alpha)-\ctg(\beta))+\ctg(\alpha)\ctg(\beta)
следовательно k=(-\ctg(\alpha)-\ctg(\beta)), p=\ctg(\alpha)\ctg(\beta)

По идее необходимо это подставить в исходное уравнение и посмотреть, что будет. Но дело в том, что дальше я не знаю что делать, ведь ничего не сокращается. Помогите, пожалуйтса

[Aritaborian]

Судя по условию, можно сразу заменить $\alpha+\beta$ на какое-нибудь $\varphi$. Меня это настораживает...

[svv]

Обозначим $A=\ctg\alpha, B=\ctg\beta$.
Тогда $A$ и $B$ — корни уравнения $x^2+kx+p=0$.
По формуле Виета сумма корней $A+B$ равна ..., а произведение корней $AB$ равно ...
(Решать уравнение не надо!)

Но, как будто специально для нашей задачи, есть формула
$\ctg\left( \alpha + \beta \right) = \dfrac{\ctg\alpha\,\ctg\beta - 1}{\ctg\alpha+\ctg\beta}$
А правая часть в наших обозначениях — это ...
Таким образом, Вы знаете значение $\ctg\left( \alpha + \beta \right)$.

[kfranks]

Да, теперь мы знаем значение арккотангенса, а что это в сумме нам может дать?Необходимо, чтобы в исходном были арккотангенсы?

[gris]

Почему арк? В исходном выражении надо получить котангенсы. Но так, чтобы знак выражения не изменился. Может быть его разделить на что-то положительное?

[kfranks]

Спасибо, задача решена!