Сходимость ряда

[StrMth]

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{\sqrt[3]{n^{2}}}-\sin(\frac{\sin n}{\sqrt[3]{n^{2}}})$
Если начинать с абсолютной сходимости, то эквивалентность здесь ведь не получится использовать?

[mihailm]

Надо сравнить (по модулю) с рядом из обратных квадратов

[SpBTimes]

Распишите по Тейлору побольше членов

[StrMth]

$a(n)= \frac{\sin n}{\sqrt[3]{n^{2}}}-\frac{\sin n}{\sqrt[3]{n^{2}}}+\frac{\sin^3 n}{3!n^{2}}-\frac{\sin^5 n}{5!n^{4}}+o(\frac{\sin^5 n}{5!n^{4}})$

[provincialka]

SpBTimes в сообщении #791206 писал(а):

Распишите по Тейлору побольше членов

А поможет ли это? Ведь аргумент синуса (второго) с ростом n не стремится к 0.

[Dan B-Yallay]

StrMth в сообщении #791628 писал(а):

$a(n)= \frac{\sin n}{\sqrt[3]{n^{2}}}-\frac{\sin n}{\sqrt[3]{n^{2}}}+\frac{\sin^3 n}{3!n^{2}}-\frac{\sin^5 n}{5!n^{4}}+o(\frac{\sin^5 n}{5!n^{4}})$

Чтото Тейлор подозрительный. Куда кубический корень пропал?

-- Сб ноя 23, 2013 00:41:09 --

provincialka в сообщении #791630 писал(а):

Ведь аргумент синуса (второго) с ростом n не стремится к 0.

С какой стороны второй?

[provincialka]

А, нет, стремится, синус ведь ограничен.

[SpBTimes]

Побольше - до абсолютно сходящегося куска. И расписать надо правильно :)

[StrMth]

Так если дробь в куб возвести - корня и не будет же? То есть до 2-ого слагаемого расписать, оно , вроде бы сходится абсолютно?

[provincialka]

Ну так сделайте это.

[StrMth]

$a(n)= \frac{\sin n}{\sqrt[3]{n^{2}}}-\frac{\sin n}{\sqrt[3]{n^{2}}}+\frac{\sin^3 n}{3!n^{2}}+o(\frac{\sin^3 n}{3!n^{2}})$ Дальше можно написать , что $a(n)=O(\frac{\sin^3 n}{3!n^{2}})$ следовательно сходится абсолютно?

[provincialka]

Еще лучше синус оценить по модулю единицей, красивее будет.

[ewert]

StrMth в сообщении #791841 писал(а):

$a(n)= \frac{\sin n}{\sqrt[3]{n^{2}}}-\frac{\sin n}{\sqrt[3]{n^{2}}}+\frac{\sin^3 n}{3!n^{2}}+o(\frac{\sin^3 n}{3!n^{2}})$ Дальше можно написать , что $a(n)=O(\frac{\sin^3 n}{3!n^{2}})$

Только не дальше, а с самого начала: $\sin\left(\frac{\sin n}{\sqrt[3]{n^2}}\right)=\frac{\sin n}{\sqrt[3]{n^2}}+O\left(\frac{\sin^2n}{n^{4/3}}\right)=\frac{\sin n}{\sqrt[3]{n^2}}+O\left(n^{-4/3}\right)$. Это хоть и грубо, но более чем достаточно.