Эллиптические интегралы (Зорич V.7.5j)

[Urnwestek]

Если $|m_1| > |m_2| > 0$, то одной из замен вида $\sqrt{m_1}t = x$, $\sqrt{m_1}t = \sqrt{1 - x^2}$, $\sqrt{m_1}t = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ интеграл $\int \frac{r(t^2)dt}{\sqrt{A(1+m_1t^2)(1+m_2t^2)}}$ приводится к виду $\int \frac{\tilde{r}(x^2)dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}$, где $0<k<1$, а $\tilde{r}$ — рациональная функция.

Вообще не понятно откуда тут могло появится аж 4 случая (4 способы замены) и что-то у меня ни одним из них привести никак не получилось. Например, взяв первую замену легко получить $\frac{\tilde{r}(x^2)dx}{\sqrt{(1+x^2)(1+\frac{m_2}{m_1}x^2)}}$, а дальше-то что? Заранее спасибо за ответ.

[Ms-dos4]

Разные замены для разных комбинаций знаков. Нужно перебрать все варианты расстановки знаков, что бы подкоренное выражение $\[\sqrt { \pm A(1 \pm {m_1}{t^2})(1 \pm {m_2}{t^2})} \]$ было положительно. Сразу можно оговорить, что достаточно рассмотреть $\[\left| A \right| = 1\]$.
(Я буду писать только подынтегральные выражения, без знаков интеграла)
1)Пусть $\[A = 1\]$, $\[{m_1} = - {a^2}\]$, $\[{m_2} = - {b^2}\]$. Что бы подкоренное выражение было положительно, нужно что бы $\[t < \frac{1}{a}\]$ или $\[t > \frac{1}{b}\]$. Тогда совершив замену $\[at = x\]$ (где$\[0 < x < 1\]$) получите $\[\frac{{\tilde r({x^2})dx}}{{a\sqrt {(1 - {x^2})(1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2})} }}\]$
2)Пусть $\[A = 1\]$, $\[{m_1} = - {a^2}\]$, $\[{m_2} = {b^2}\] $. Нам нужно, что бы $\[t < \frac{1}{a}\]$. Совершаем замену $\[at = \sqrt {1 - {x^2}} \]$. После замены получим $\[\frac{{\tilde r({x^2})dx}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {(1 - {x^2})(1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}{x^2})} }}\]$.
3)Пусть $\[A = 1\]$, $\[{m_1} = {a^2}\]$, $\[{m_2} = {b^2}\]$. Подкоренное выражение при любом t положительно, совершаем замену $\[at = \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\]$. После замены получаем $\[\frac{{\tilde r({x^2})dx}}{{a\sqrt {(1 - {x^2})(1 - [1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}]{x^2})} }}\]$.
4)Пусть $\[A = - 1\]$, $\[{m_1} = - {a^2}\]$, $\[{m_2} = {b^2}\]$. $\[t > \frac{1}{a}\]$, совершаем замену $\[at = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\]$, получаем $\[\frac{{\tilde r({x^2})dx}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {(1 - {x^2})(1 - \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}{x^2})} }}\]$.
5)Последний случай, если $\[A = - 1\]$, $\[{m_1} = - {a^2}\]$, $\[{m_2} = - {b^2}\]$. Тогда $\[\frac{1}{a} < t < \frac{1}{b}\]$. Замена $\[bt = \sqrt {1 - (1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}){x^2}} \]$ приводит к $\[\frac{{\tilde r({x^2})dx}}{{a\sqrt {(1 - {x^2})(1 - [1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}]{x^2})} }}\]$

Больше вариантов нет
(в оставшемся случае, очевидно, $\[ - (1 + {a^2}{t^2})(1 + {b^2} {t^2}) < 0\]$ при любых t.

[Urnwestek]

Спасибо!
Кстати, не очень аккуратно в задании сформулирована замена $t = \sqrt{m_1}x$ и прочие, если уж предполагается, что $m_1$ может быть отрицательным.