Сумма цифр, кратная пятой степени

[Ktina]

Доказать, что среди любых $7^5$ последовательных натуральных чисел непременно найдётся хотя бы одно число, сумма десятичных цифр которого кратна пятой степени некоторого натурального числа, большего 1.

[hippie]

$7^5 > 10000.$
Среди сумм цифр 10000 последовательных натуральных чисел найдётся 32 последовательных числа. Одно из них кратно $2^5.$

[kknop]

Да, вот я тоже не понимаю, зачем $7^5$, если 10000 достаточно.
Более подробно: в любом куске длины 10000 найдется число, 4 последних цифры которого 5000. Пусть оно равно d (mod 32). Если оно в первой половине куска, то в 5000 чисел после него встретятся все остатки от d до d+4+9+9+9=d+31, среди которых точно будет нулевой. Если оно во второй половине куска - то то же самое будет для 5000 чисел перед ним.

[Ktina]

kknop в сообщении #790975 писал(а):

Да, вот я тоже не понимаю, зачем $7^5$, если 10000 достаточно.
...

Если написать "10000", решение сразу бросается в глаза.

[Deggial]

kknop в сообщении #790975 писал(а):

d (mod 32). ... d до d+4+9+9+9=d+31

kknop, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

[kknop]

Deggial в сообщении #790994 писал(а):

kknop в сообщении #790975 писал(а):

d (mod 32). ... d до d+4+9+9+9=d+31

kknop, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

Сорри, я думал, что для тех формул, в которых нет ничего кроме латинских букв, это не обязательно