Хм... 6 точек образуют 15 сторон.
Будем работать с ориентированным графом с 15 вершинами. Смежные стороны треугольников - смежные вершины графа. Степень каждой вершины графа равна 8. Нужно доказать, что есть ребра

,

,

или

,

,

,

или

. Дальше сможешь?
P.S. Мое решение может быть очень корявым. Возможно( и очень вероятно), найдутся лучше.