2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите с решением
Сообщение19.11.2013, 20:32 
1) На плоскости отмечено 6 точек так, что любые 3 из них образуют треугольник со сторонами разной длины. Доказать, что найдутся 2 треугольника таких, что наименьшая сторона первого является наибольшей стороной второго.

 
 
 
 Re: Помогите с решением
Сообщение20.11.2013, 06:30 
Аватара пользователя
nemon33, откуда эта задача?
Здесь запрещено обсуждать задачи текущих олимпиад.

 
 
 
 Re: Помогите с решением
Сообщение20.11.2013, 16:14 
Аватара пользователя
Задача 2008 года, как минимум.

 
 
 
 Re: Помогите с решением
Сообщение20.11.2013, 18:44 
Хм... 6 точек образуют 15 сторон.
Будем работать с ориентированным графом с 15 вершинами. Смежные стороны треугольников - смежные вершины графа. Степень каждой вершины графа равна 8. Нужно доказать, что есть ребра $\overrightarrow{ AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$ или $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{EA}$, $\overrightarrow{DE}$ или $\overrightarrow{ED}$. Дальше сможешь?

P.S. Мое решение может быть очень корявым. Возможно( и очень вероятно), найдутся лучше.

 
 
 
 Re: Помогите с решением
Сообщение20.11.2013, 22:19 

(Оффтоп)

Эта задача многократно переоткрывалась. (Я её тоже придумал в 2001 году, а оказалось, что к тому времени она была известна более 10 лет :cry: :shock: .)


В каждом треугольнике покрасим наибольшую сторону в чёрный цвет. Тогда найдётся треугольник, все стороны которого чёрные. Наименьшая сторона этого треугольника одновременно является наибольшей стороной какого-то другого.

PS Для пяти точек такой пары треугольников может и не найтись.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group